対称式と単位分数型の不定不等式(1/x+1/y+1/zの最大)

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x\leqq y\leqq zを満たす自然数x,\ y,\ zの組のうち,\ の値が最大になるものを求めよ.\ また,\ そのときの最大値を求めよ.$ \\ 対称式と単位分数型の不定不等式}}$}} \\\\   本項の解答・解説は,\ 前項の内容が理解できていることを前提とする. 基本方針は前項で扱った方程式(=)の場合と同じである. \\[.2zh] 大小関係が設定されているので,\ 後は\bm{最大数または最小数に置換して不等式を作る}と絞り込める. \\[1zh] 別解は,\ 具体的な値で実験することを前提としたものである. \\[.2zh] 2変数になれば,\ 分母をはらうことでaxy+bx+cy+d=0型の不定不等式に帰着する. \\ 各因数の範囲を考慮すると,\ (y-2)(z-2)\geqq2となる. \\[.2zh] 結局,\ (y-2)(z-2)=2と(y-2)(z-2)=3を満たす(y,\ z)の組を求めることになる. \bunsuu1x+\bunsuu1y+\bunsuu1z<1,\ \ x\leqq y\leqq z\ を満たす自然数x,\ y,\ zの組は無限にある. \\[.8zh] その中から,\ \bunsuu1x+\bunsuu1y+\bunsuu1z\,の値が最大となるものを特定しなければならない. \\[.8zh] 初学者は,\ 不等式条件付き3変数関数の最大問題などと難しく考えてしまうかもしれない. \\[.2zh] しかし,\ x,\ y,\ zが整数である本問では難しく考える必要は全くなく,\ 単純な発想で解答できる. \\[1zh] 分母のx,\ y,\ zの値が小さいほど\,\bunsuu1x+\bunsuu1y+\bunsuu1z\,の値が大きくなる. \\[.8zh] よって,\ \bm{小さいx,\ y,\ zの組合せから順に\,\bunsuu1x+\bunsuu1y+\bunsuu1z\,の値を調べていけばよい}だけの話である. \\[.8zh] このような発想は,\ \bm{整数分野の最大・最小問題では非常に有効}である. \\[1zh] とにかく,\ まず具体的な値で実験し,\ それを元に解答を作成する. を満たさない.,を満たすにはz\geqq7でなければならない. 実際の試験では,\ 可能な限り「明らか」という表現を避けるのが基本である. \\[.2zh] \bm{不等式を用いてまとめて記述する}方法を習得してほしい. \\[1zh] (x,\ y)=(2,\ 3,\ 7)が存在したからといって,\ (x,\ y)=(2,\ 4)を考えなくてよくなるわけではない. \\[.2zh]\cdots\ は,\ 考えるまでもなく明らかである. \\[.2zh] しかし,\ (2,\ 3,\ 7)と(2,\ 4,\ 4),\ (2,\ 4,\ 5),\ (2,\ 4,\ 6)の大小は,\ 確認する必要がある. \\[.2zh] 解答では,\ (2,\ 4,\ 5),\ (2,\ 4,\ 6),\ \cdots\ と(2,\ 5,\ 5以上),\ (2,\ 6,\ 6以上),\ \cdots\ をすべてまとめて扱った. \\[.2zh] さらに,\ \bunsuu{41}{42}\kinzi0.976と\,\bunsuu{19}{20}=0.95の比較により, 同様に,\ (2,\ 3,\ 7)と(3,\ 3,\ 3),\ (3,\ 3,\ 4),\ (3,\ 3,\ 5),\ (3,\ 3,\ 6)の比較も必要である. \\[.2zh] (3,\ 3,\ 4)が存在するので,\ 結果的には(3,\ 3,\ 5),\ (3,\ 3,\ 6)を計算する必要はない.  \bunsuu{11}{12}\kinzi0.92 \\[.2zh] 残すはx\geqq4の場合だが,\ 明らかに(3,\ 3,\ 4)>(4以上,\ 4以上,\ 4以上)\ である. \\[.2zh] すべての場合が尽くされ,\ (2,\ 3,\ 7)のとき最大値をとることが確定する.
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