axy+bx+cy+d=0型の不定方程式

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xy-2x-3y+2=0を満たす自然数x,\ yの組を求めよ.$ \\[.5zh]
\hspace{.5zw}$(2)\ \ 3xy-x+y-7=0を満たす負でない整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
axy+bx+cy+d=0型}}$}} \\\\
  この型は,\ 無理矢理$\bm{\textcolor{red}{(文字式)\times(文字式)=(整数)}}$の形に変形できる. \\[.2zh]
  頻出するのでパターンとして認識しておくとよい.
まず,\ \bm{共通因数xをくくり出す.}  x(y-2)-3y+2=0 \\[.2zh]
次に,\ \bm{無理矢理共通因数を作った後,\ つじつまを合わせる.}   x(y-2)-3(y-2)-6+2=0 \\[.2zh]
最後に,\ 定数部分を右辺に移項し,\ 左辺を因数分解すればよい. \ \ (x-3)(y-2)=4 \\[1zh]
別解は,\ \textbf{1つの文字について解く}ものである.\ \ \bm{(分母)\neqq0}を確認した上で変形する. \\[.2zh]
分数式は,\ \bm{分子の次数を分母より低くして扱う}のが基本である. \\[.2zh]
分母と分子の次数が等しい場合は,\ \bm{分子に分母と同じ形を無理矢理作った後,\ 分数を分割する}と速い.
{両辺に3を掛ける}と
\phantom{ (1)}\ \ また,\ $\textcolor{magenta}{3x+1は3で割ると1余る数,\ 3y-1は3で割ると2余る数}である.$ \\[1zh]
xyの係数が1でない場合,\ 変形途中で分数が出てきて鬱陶しくなることがある. \\[.2zh]
axy\ (a\neqq1)の場合,\ \bm{最初に両辺をa倍しておく}と,\ 分数が出てこなくて済む. \\[.2zh]
後からa倍して分母をはらうくらいならば,\ 最初にa倍してから変形すればよいというわけである. \\[1zh]
「負でない整数」なので,\ 0が含まれることに注意してほしい. \\[.2zh]
範囲に加えて\bm{余りまで考慮する}と,\ (2,\ 10),\ (5,\ 4),\ (20,\ 1)を除外できる. \\[.2zh]
3y-1=3(y-1)+2より,\ 3y-1は3で割ると2余る数である.
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