x³±y³=k型の不定方程式

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根本的に特別な何かがあるわけではない.$  因数分解によって両辺を積の形にして,\ しらみつぶしをすれば容易に解ける.  しかし,\ 候補が多いと面倒なので,\ 絞り込みの発想を習得しておいて欲しい. 積が91になる組合せは,\ 全部で8つあり,\ しらみつぶしするのは面倒である. {2次の因数を平方完成することで,\ 必ず正であることに最低限気付きたい.} 負の可能性が消え,\ 4つになれば,\ しらみつぶししようという気にもなるだろう. しかし,\ {因数の差を求めてみる}ことで,\ さらなる絞り込みが可能である. 2次式になるので,\ {平方完成してみると,\ 差は-1以上}であることがわかる. 後は連立するだけであるが,\ {対称式の連立方程式}として解くのがスマートである. もちろん,\ 1文字消去法で求めても何ら問題はない. 序盤は本解と同様である.\ 対称式の連立方程式とみてx,\ yを求める. この過程で,\ {実数解条件(判別式)によってさらに絞り込む}ことが可能になる. 根本的には,\ と同様である.\ 組合せが8つなのも同様なので,\ 絞り込む. 後半,\ x,\ yの対称式ではないので,\ と同様にはできない. しかし,\ {xと-yの対称式と考える}ことで,\ と同様の手法が可能になる. やや技巧的なので,\ 難しいと思う人は,\ 1文字消去法を使えば何の問題もない. の別解と同様に,\ 2次方程式を作ってから,\ 実数条件で絞り込んでもよい. 京都大学の過去問だが,\ 誰でもしらみつぶしさえすれば解ける問題である. を示した.\ 12通りが6通りになる. 当然,\ 2次の因数を平方完成してもよい.\ また,\ 因数の差の考慮で3通りになる. さらに,\ {2次の因数と1次の因数の2乗の差を調べてみる.}\ (x²,\ y²が消えるから) すると,\ {差が3の倍数である}ことがわかり,\ 結局1通りに絞られる.
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