対称式の不定方程式x+y+z=xyzと分数型の不定方程式

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この型は,\ 次の2段階の作業によって範囲が絞られることがポイントになる.   \ 自分で文字に大小関係を設定する.   \ 式の全てまたは一部を,\ 最大の文字または最小の文字に置換する.  は複数のパターンがあるが,\ 試してみて初めてどれが有効かがわかる. 条件を満たす.$ 途中,\ x,\ y,\ zが自然数という条件を忘れないように注意しよう. 本問は,\ 右辺か左辺のどちらか一方を最大数か最小数に置換するとうまくいく. そのパターンは,\ 次の4通りが考えられるので,\ 全て試してみる. \xyzを最大数zで置換.  x+y+z=xyz z³ → x+y+z z³ .2zw}× \xyzを最小数xで置換.  x+y+z=xyz x³ → x+y+z x³ × \x+y+zを最大数zで置換.  xyz=x+y+z3z → xy3 ○ \x+y+zを最小数xで置換.  xyz=x+y+z3x → yz3 × 実験の結果,\ ,\ では何もわからない.\ また,\ では絞り込めない. 結局,\ の方針が正しいということがわかる. 最後,\ 自分で設定した大小関係を解除するのを忘れない}ように注意する. 3つの異なる数字の並びであるから,\ 3!=6通りの答えが出てくるはずである. また,\ 整数問題においては,\ 次のような視点も重要である. 与式は,\ 左辺は1次式,\ 右辺は3次式}という特徴がある式である. 一般に,\ 自然数は,\ 和よりも積のほうが圧倒的に値が大きくなる. この等式が成立するならば,\ {x,\ y,\ zはあまり大きい数ではないと予想できる.} 以上の視点があれば,\ 小さい整数からしらみつぶししようという発想も出てくる. 不適でzも自然数とな 大小関係を設定し,\ 全ての文字をxかzに置換してみると,\ xでうまくいく. これで1つの文字が特定されれば,\ 2変数の分数型}に帰着する. この型は,\ {分母を払うとaxy+bx+cy+d=0型に帰着する.} この方針で解く場合も,\ 大小関係を利用して因数の範囲を絞ることができる. また,\ 本問の分数型は,\ xy+yz+zx=xyzの形式で出題されることもある. その場合は,\ 両辺をxyz0で割り,\ 本問の形に帰着させるとよい.
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