不定方程式の最重要発想①:不等式による絞り込み

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「整数」「自然数」「偶数」「素数」などは,\ 恐ろしく厳しい条件である.  例えば,\を満たす偶数x」ならば,\ x=4が確定する.$  不定方程式の最も重要な方針は,\ 整数の離散性を利用するというものである.  つまり,\ 何らかの不等式で範囲を絞り込むと,\ 解の候補が定まるのである.  後は,\ その候補を1つずつしらみつぶししていくことで解が特定できる.  \ $yは自然数であるから 自然数という条件があるので,\ を利用してxの値を絞り込む. y1のほうが楽な場合もあるが,\ 本問はでうまく因数分解できる. 別にy1として解の公式を使って範囲を求めても何ら問題はない. また,\ 整数問題では,\ 「1次の文字について解く」}という発想も重要である. 一見して,\ x,\ y,\ zはあまり大きくないはずだという感覚を持ってほしい. 少なくとも,\ x,\ y,\ zともに,\ 10未満であることは明らかである. そして,\ 限界があるならば,\ 何らかの手法で絞り込めるはずである. 今回はx1,\ y1としたほうがより厳しく絞り込める. また,\ 係数が最大の文字(本問はz)の項に着目すると,\ 最も効率がよい. x,\ yを求める過程は絞り込むほどのものでもないので省略した. つまり,\ 2y=7-x6より,\ y=1,\ 2,\ 3としてからxを求めてもよい. y²は平方数に限られる}]$}  \ 明らかにx,\ yの大きさには限界があるので,\ 絞り込めるはずである. 1つの文字の式と見て平方完成し,\ ( )²0を利用して範囲を絞り込む. やはり,\ 係数が大きいy²のほうに着目するのがよい. また,\ y²や(x+y)²は,\ 平方数でなければならない.\ このことからも絞られる.
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