2x^2-3x+y-9=0を満たす自然数x,\ yの組を全て求めよ.$ \\[.8zh]
\hspace{.5zw}$(2)\ \ x+2y+3z=10を満たす自然数x,\ y,\ zの組を求めよ.$ \\[.8zh]
\hspace{.5zw}$(3)\ \ x^2+2xy+3y^2=19を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
%\hspace{.5zw}$(4)\ \ 4x^2+3y^2+z^2-2yz-32=0を満たす整数x,\ y,\ zの組を求めよ.$ \\
{不定方程式の発想\maru1 不等式による絞り込み}}$}} \\\\
\textcolor{magenta}{方程式の数よりも未知数の数が多く,\ 解が定まらない方程式}を\textbf{\textcolor{blue}{不定方程式}}という. \\[.2zh]
ただし,\ これに「整数解」という条件が加わると解が定まることがある. \\[.2zh]
\textbf{\textcolor{purple}{整数係数不定方程式の整数解を求める}}ことが整数分野の最大テーマの1つである. \\[1zh]
当カテゴリでは,\ 不定方程式の整数解を求める問題のパターンと発想を紹介する. \\[.2zh]
パターンとはいっても,\ 整数分野では明確に各問題の扱いが決まっているわけではない. \\[.2zh]
\textbf{\textcolor{purple}{多くの問題に共通して通用する発想そのものを習得し,\ 問題ごとに試行錯誤する}}必要がある. \\\\\\
さて,\ 整数問題というからには,\ 整数の特徴を生かして問題を解くことになるはずである. \\[.2zh]
そうでなくては,\ わざわざ整数という条件がついている意味がない. \\[1zh]
他の数(分数や無理数など)にはない整数だけがもつ特徴が以下の3つである. \\[.5zh]
\centerline{\textbf{\textcolor{red}{「とびとびの値をとる(離散性)」「素因数分解できる」「余りで分類できる」}}} \\[.5zh]
これらに基づき,\ 必然的に整数問題の3大方針が以下となる. \\[.5zh]
\centerline{\textbf{\textcolor{red}{「不等式で絞り込む」「因数分解で積の形を作る」「余りを考える」}}} \\\\
本項では,\ このうち\textbf{\textcolor{blue}{「離散性」}}に着目した不定方程式の解法を紹介する. \\[1zh]
離散性により,\ 「実数」に比べて\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{「整数」}}という条件は\textbf{\textcolor{red}{格段に厳しい条件}}となる. \\[.2zh]
例えば,\ $「\,20またはx\geqq1}$}である. \\[.2zh]
さらに,\ \textbf{\textcolor{magenta}{2次方程式}}となる場合,\ $\bm{\textcolor{magenta}{D\geqq0}}$を満たしていなければならない. \\\\\\
(1)\ \ $y$は自然数であるから
\betu\ \ $x$についての2次方程式$2x^2-3x+y-9=0$を解くと $x=\bunsuu{3\pm\ruizyoukon{81-8y}}{4}$ \\[1zh]
\phantom{ (1)}\ \ $x$が整数になるためには,\ \textcolor{red}{$81-8y$が平方数となることが必要}である. \\[.5zh]
\phantom{ (1)}\ \ $-\,8y+81\geqq0$\ より $y\leqq\bunsuu{81}{8}$ \\[.5zh]
\phantom{ (1)}\ \ $y=1,\ 2,\ \cdots,\ 10$のうち$81-8y$が平方数となるのは,\ $\textcolor{cyan}{y=4,\ 7,\ 9,\ 10}$のときである. \\[1zh]
\centerline{$\therefore xが自然数となるのは \bm{(x,\ y)=(1,\ 10),\ (2,\ 7)}$} \\\\
x,\ yは自然数であるから,\ \bm{x>0,\ y>0}あるいは\bm{x\geqq1,\ y\geqq1}という範囲があることになる. \\[.2zh]
この条件を利用するための最も単純な方法は,\ \textbf{「\,1つの文字について解く」}ことである. \\[.2zh]
\bm{次数が低い文字について解く}ほうが簡単なので,\ y=とするのが自然である. \\[.2zh]
y>0からxの範囲が求まり,\ さらにも考慮するとxの値が2つにまで絞られる. \\[.2zh]
後は,\ xの値をy=-\,2x^2+3x+9に代入してyの値を求めればよい. \\[1zh]
「\,yは自然数\ \Longrightarrow\」であるから,\ y>0はyが自然数であるための\bm{必要条件}である. \\[.2zh]
これの逆は成り立たない(だからといってyが自然数とは限らない). \\[.2zh]
よって,\ \bm{十分性(yが自然数となること)を確認}した上で最終的な答えとする. \\[1zh]
y\geqq1ではなくを利用する解法を示したことに本質的な意味合いはない. \\[.2zh]
本問はたまたまとするとうまく因数分解できるというだけである.
\ruizyoukon{73}\kinzi8.5がわかりにくいならば,\ 例えば次のように考える.\ この場合は結局と同じになる. \\[.2zh]
とにかく,\ 範囲を限定するという目的さえ達成できれば,\ その手法や過程は自由である. \\[.2zh]
何が楽かは試してみなければわからないので,\ 時間が限られた実際の試験では運要素も絡む. \\[1zh]
別解は2次のxについて解くものである.\ 因数分解できないので,\ \bm{解の公式}を利用することになる. \\[.2zh]
x>0とすると面倒になるので,\ \bm{根号の中身に着目する}発想を習得してほしい. \\[.2zh]
xが自然数となるためには,\ それ以前に実数である必要がある(\bm{必要条件}). \\[.2zh]
つまり,\ \bm{根号の中身が0以上}でなければならない.\ \ \bm{D\geqq0}と考えても同じことである. \\[.2zh]
さらに,\ xが自然数となるためには根号がはずれる必要がある(\bm{必要条件}). \\[.2zh]
つまり,\ \bm{根号の中身が平方数}(整数の2乗で表される整数)でなければならない. \\[.2zh]
D\geqq0より1\leqq y\leqq10がわかるから,\ 81-8yに順に代入して平方数となるものを探せばよい. \\[.4zh]
最後に,\ \bm{十分性(xが自然数となること)を確認}した上で最終的な答えとする. \\[.2zh]
y=4,\ 9のように答えにならない値が含まれていたのは,\ 絞り込みが甘かったせいである. \\[.2zh]
より厳しくyの値を絞り込むことを考えよう. \\[1zh]
分母が4であるから,\ \bm{分子が正の4の倍数(4,\ 8,\ \cdots)であればxは確実に自然数}となる. \\[.2zh]
ここで,\ yが81-8y\geqq0を満たす自然数のとき,\ 常にある.\ が正の4の倍数となることはない.
ここまで考慮すると不必要なyの値を完全に排除できるが,\ どこまで考慮すべきかは場合による. \\[.2zh]
変に工夫している暇があれば,\ 絞り込みが多少甘くともしらみつぶししたほうが速いことも多い. \\[.2zh]
様々な絞り込みの発想を習得した上で,\ 臨機応変に対応することが重要である.
一見して,\ \bm{自然数x,\ y,\ zはあまり大きい値ではないはず}だと思えるようになってほしい. \\[.2zh]
少なくとも,\ x,\ y,\ zはいずれも10未満であることは明らかである. \\[.2zh]
そして,\ 限界があるならば,\ 何らかの手法で絞り込めるはずである. \\[1zh]
本問の場合は,\ \bm{x\geqq1,\ y\geqq1}としたほうがより厳しく絞り込める. \\[.2zh]
また,\ \bm{係数が最大の文字zの項に着目}すると最も効率がよい. \\[.2zh]
zさえ求まれば,\ x,\ yは絞り込まずともすぐに特定できるだろう. \\[.2zh]
もちろん,\ 2y=7-x\leqq7-1=6よりy=1,\ 2,\ 3と絞り込んでもよい. \\[1zh]
さて,\ 本問を含む整数問題を解くときに一番大事なことは\bm{「ビビらない」}ということである. \\[.2zh]
「数学に精神論？」と思ったかもしれないが,\ 数学的能力以外の理由で解けない学生が実に多い. \\[.2zh]
そもそも,\ 高校生が本問を解けないなんてことは本来ありえない. \\[.2zh]
以下のように表現するともはや小学校の算数であり,\ 数学的な知識も能力も必要ないからである.に入る0より大きい整数を答えてください. \\[1zh]
しかし,\ 2x+6=3のような実数xの方程式に慣れきった高校生は以下のように考え自滅する. \\[.2zh]
「初見では無理\cdots」「実数じゃなくて自然数？」「文字が3つも\cdots」「うまい解法は\cdots」 \\[1zh]
本問を解くのに必要なのは,\ チャレンジ精神とほんのわずかな思考力のみである.
自然数ではなく整数(負数もありえる)なので,\ 一見してx,\ yの値を絞り込むことはできない. \\[.2zh]
そこで,\ \bm{(0以上の整数)+(0以上の整数)=(具体的な自然数)}\ という形を作ることを目指す. \\[.2zh]
作れるか否かはやってみなければわからないが,\ とりあえず試してみるわけである. \\[.2zh]
2次式の場合,\ \bm{1つの文字の式と見て平方完成}すると,\ この形を作り出せることがある. \\[.2zh]
\bm{常に( )^2\geqq0}であることを利用するのである.\ こうして,\ 本質的に(2)と同じ問題になる. \\[1zh]
後は,\ 係数が大きい2y^2\,のほうに着目して絞り込む. \\[.2zh]
さらに,\ \bm{y^2\,や(x+y)^2\,は平方数である}ことも利用するとより厳しく絞り込める. \\[1zh]
実は,\ x^2+2yx+3y^2-19=0で\ \bunsuu D4=y^2-(3y^2-19)=-\,2y^2+19\geqq0\ としても同じ式になる.
\hspace{.5zw}$(2)\ \ x+2y+3z=10を満たす自然数x,\ y,\ zの組を求めよ.$ \\[.8zh]
\hspace{.5zw}$(3)\ \ x^2+2xy+3y^2=19を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
%\hspace{.5zw}$(4)\ \ 4x^2+3y^2+z^2-2yz-32=0を満たす整数x,\ y,\ zの組を求めよ.$ \\
{不定方程式の発想\maru1 不等式による絞り込み}}$}} \\\\
\textcolor{magenta}{方程式の数よりも未知数の数が多く,\ 解が定まらない方程式}を\textbf{\textcolor{blue}{不定方程式}}という. \\[.2zh]
ただし,\ これに「整数解」という条件が加わると解が定まることがある. \\[.2zh]
\textbf{\textcolor{purple}{整数係数不定方程式の整数解を求める}}ことが整数分野の最大テーマの1つである. \\[1zh]
当カテゴリでは,\ 不定方程式の整数解を求める問題のパターンと発想を紹介する. \\[.2zh]
パターンとはいっても,\ 整数分野では明確に各問題の扱いが決まっているわけではない. \\[.2zh]
\textbf{\textcolor{purple}{多くの問題に共通して通用する発想そのものを習得し,\ 問題ごとに試行錯誤する}}必要がある. \\\\\\
さて,\ 整数問題というからには,\ 整数の特徴を生かして問題を解くことになるはずである. \\[.2zh]
そうでなくては,\ わざわざ整数という条件がついている意味がない. \\[1zh]
他の数(分数や無理数など)にはない整数だけがもつ特徴が以下の3つである. \\[.5zh]
\centerline{\textbf{\textcolor{red}{「とびとびの値をとる(離散性)」「素因数分解できる」「余りで分類できる」}}} \\[.5zh]
これらに基づき,\ 必然的に整数問題の3大方針が以下となる. \\[.5zh]
\centerline{\textbf{\textcolor{red}{「不等式で絞り込む」「因数分解で積の形を作る」「余りを考える」}}} \\\\
本項では,\ このうち\textbf{\textcolor{blue}{「離散性」}}に着目した不定方程式の解法を紹介する. \\[1zh]
離散性により,\ 「実数」に比べて\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{「整数」}}という条件は\textbf{\textcolor{red}{格段に厳しい条件}}となる. \\[.2zh]
例えば,\ $「\,2
さらに,\ \textbf{\textcolor{magenta}{2次方程式}}となる場合,\ $\bm{\textcolor{magenta}{D\geqq0}}$を満たしていなければならない. \\\\\\
(1)\ \ $y$は自然数であるから
\betu\ \ $x$についての2次方程式$2x^2-3x+y-9=0$を解くと $x=\bunsuu{3\pm\ruizyoukon{81-8y}}{4}$ \\[1zh]
\phantom{ (1)}\ \ $x$が整数になるためには,\ \textcolor{red}{$81-8y$が平方数となることが必要}である. \\[.5zh]
\phantom{ (1)}\ \ $-\,8y+81\geqq0$\ より $y\leqq\bunsuu{81}{8}$ \\[.5zh]
\phantom{ (1)}\ \ $y=1,\ 2,\ \cdots,\ 10$のうち$81-8y$が平方数となるのは,\ $\textcolor{cyan}{y=4,\ 7,\ 9,\ 10}$のときである. \\[1zh]
\centerline{$\therefore xが自然数となるのは \bm{(x,\ y)=(1,\ 10),\ (2,\ 7)}$} \\\\
x,\ yは自然数であるから,\ \bm{x>0,\ y>0}あるいは\bm{x\geqq1,\ y\geqq1}という範囲があることになる. \\[.2zh]
この条件を利用するための最も単純な方法は,\ \textbf{「\,1つの文字について解く」}ことである. \\[.2zh]
\bm{次数が低い文字について解く}ほうが簡単なので,\ y=とするのが自然である. \\[.2zh]
y>0からxの範囲が求まり,\ さらにも考慮するとxの値が2つにまで絞られる. \\[.2zh]
後は,\ xの値をy=-\,2x^2+3x+9に代入してyの値を求めればよい. \\[1zh]
「\,yは自然数\ \Longrightarrow\」であるから,\ y>0はyが自然数であるための\bm{必要条件}である. \\[.2zh]
これの逆は成り立たない(だからといってyが自然数とは限らない). \\[.2zh]
よって,\ \bm{十分性(yが自然数となること)を確認}した上で最終的な答えとする. \\[1zh]
y\geqq1ではなくを利用する解法を示したことに本質的な意味合いはない. \\[.2zh]
本問はたまたまとするとうまく因数分解できるというだけである.
\ruizyoukon{73}\kinzi8.5がわかりにくいならば,\ 例えば次のように考える.\ この場合は結局と同じになる. \\[.2zh]
とにかく,\ 範囲を限定するという目的さえ達成できれば,\ その手法や過程は自由である. \\[.2zh]
何が楽かは試してみなければわからないので,\ 時間が限られた実際の試験では運要素も絡む. \\[1zh]
別解は2次のxについて解くものである.\ 因数分解できないので,\ \bm{解の公式}を利用することになる. \\[.2zh]
x>0とすると面倒になるので,\ \bm{根号の中身に着目する}発想を習得してほしい. \\[.2zh]
xが自然数となるためには,\ それ以前に実数である必要がある(\bm{必要条件}). \\[.2zh]
つまり,\ \bm{根号の中身が0以上}でなければならない.\ \ \bm{D\geqq0}と考えても同じことである. \\[.2zh]
さらに,\ xが自然数となるためには根号がはずれる必要がある(\bm{必要条件}). \\[.2zh]
つまり,\ \bm{根号の中身が平方数}(整数の2乗で表される整数)でなければならない. \\[.2zh]
D\geqq0より1\leqq y\leqq10がわかるから,\ 81-8yに順に代入して平方数となるものを探せばよい. \\[.4zh]
最後に,\ \bm{十分性(xが自然数となること)を確認}した上で最終的な答えとする. \\[.2zh]
y=4,\ 9のように答えにならない値が含まれていたのは,\ 絞り込みが甘かったせいである. \\[.2zh]
より厳しくyの値を絞り込むことを考えよう. \\[1zh]
分母が4であるから,\ \bm{分子が正の4の倍数(4,\ 8,\ \cdots)であればxは確実に自然数}となる. \\[.2zh]
ここで,\ yが81-8y\geqq0を満たす自然数のとき,\ 常にある.\ が正の4の倍数となることはない.
ここまで考慮すると不必要なyの値を完全に排除できるが,\ どこまで考慮すべきかは場合による. \\[.2zh]
変に工夫している暇があれば,\ 絞り込みが多少甘くともしらみつぶししたほうが速いことも多い. \\[.2zh]
様々な絞り込みの発想を習得した上で,\ 臨機応変に対応することが重要である.
一見して,\ \bm{自然数x,\ y,\ zはあまり大きい値ではないはず}だと思えるようになってほしい. \\[.2zh]
少なくとも,\ x,\ y,\ zはいずれも10未満であることは明らかである. \\[.2zh]
そして,\ 限界があるならば,\ 何らかの手法で絞り込めるはずである. \\[1zh]
本問の場合は,\ \bm{x\geqq1,\ y\geqq1}としたほうがより厳しく絞り込める. \\[.2zh]
また,\ \bm{係数が最大の文字zの項に着目}すると最も効率がよい. \\[.2zh]
zさえ求まれば,\ x,\ yは絞り込まずともすぐに特定できるだろう. \\[.2zh]
もちろん,\ 2y=7-x\leqq7-1=6よりy=1,\ 2,\ 3と絞り込んでもよい. \\[1zh]
さて,\ 本問を含む整数問題を解くときに一番大事なことは\bm{「ビビらない」}ということである. \\[.2zh]
「数学に精神論？」と思ったかもしれないが,\ 数学的能力以外の理由で解けない学生が実に多い. \\[.2zh]
そもそも,\ 高校生が本問を解けないなんてことは本来ありえない. \\[.2zh]
以下のように表現するともはや小学校の算数であり,\ 数学的な知識も能力も必要ないからである.に入る0より大きい整数を答えてください. \\[1zh]
しかし,\ 2x+6=3のような実数xの方程式に慣れきった高校生は以下のように考え自滅する. \\[.2zh]
「初見では無理\cdots」「実数じゃなくて自然数？」「文字が3つも\cdots」「うまい解法は\cdots」 \\[1zh]
本問を解くのに必要なのは,\ チャレンジ精神とほんのわずかな思考力のみである.
自然数ではなく整数(負数もありえる)なので,\ 一見してx,\ yの値を絞り込むことはできない. \\[.2zh]
そこで,\ \bm{(0以上の整数)+(0以上の整数)=(具体的な自然数)}\ という形を作ることを目指す. \\[.2zh]
作れるか否かはやってみなければわからないが,\ とりあえず試してみるわけである. \\[.2zh]
2次式の場合,\ \bm{1つの文字の式と見て平方完成}すると,\ この形を作り出せることがある. \\[.2zh]
\bm{常に( )^2\geqq0}であることを利用するのである.\ こうして,\ 本質的に(2)と同じ問題になる. \\[1zh]
後は,\ 係数が大きい2y^2\,のほうに着目して絞り込む. \\[.2zh]
さらに,\ \bm{y^2\,や(x+y)^2\,は平方数である}ことも利用するとより厳しく絞り込める. \\[1zh]
実は,\ x^2+2yx+3y^2-19=0で\ \bunsuu D4=y^2-(3y^2-19)=-\,2y^2+19\geqq0\ としても同じ式になる.
