5x^2+2xy+y^2-12x+4y+11=0を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$
$(2)\ \ x^2-2xy-3y^2+4x+12y-17=0を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
x^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0型$
既に取り上げた$x^2± y^2=k$型や$axy+bx+cy+d=0$型なども本項の型の一種である.
つまり,\ 本項の型は,\ 2文字の2次の不定方程式の究極形態である.
目新しい発想は必要なく,\ 以下のようなすでに学習済みの発想で解くことができる.
[1]\ \ 解の公式を用いて1文字について解く.
[2]\ \ $平方完成により (文字式)^2+(文字式)^2=(整数)$に変形し,\ 不等式で絞り込む.
[3]\ \ $(文字式)×(文字式)=(整数)$に変形する.
$y$が整数となるためには,\ $-\,4x^2+16x-7=-\,(2x-1)(2x-7)≧0}$\ が必要である.
$-\,4x^2+16x-7が平方数となる}ことが必要である.$
1文字について解く方針を本解とした.\ 標準解法ではあるが,\ 別解とどちらが楽かは場合による.
また,\ 2乗の係数が1のyの方程式とみたほうが後が楽になる.
yが整数となるためには,\ それ以前に実数である必要がある.
つまり,\ 根号の中身Dが0以上}でなければならない.
さらに,\ 根号がはずれるためには根号の中身が平方数}でなければならないことも考慮して絞り込む.
別解は,\ 2段階の平方完成により2乗の和に変形する}ものである.
結局,\ x^2+y^2+k型}の不定方程式に帰着する.
まず2乗の係数が1のyの式とみて平方完成し,\ さらに残りのxの2次式を平方完成する.
後は,\ ( )^2≧0}を利用して絞り込む.\ 先に係数の大きい4(x-2)^2\,に着目すると効率がよい.
94\,以下の平方数は0と1のみである.\ また,\ (x-2)^2=0,\ 1のとき(y+x+2)^2=9,\ 5である.
x,\ yがともに整数となるのは,\ (x-2)^2=0\ かつ\ (y+x+2)^2=9\ のときのみとわかる.
(1)と同様に,\ 1文字について解く方針を本解とした.\ 2乗の係数が1のxの方程式とみる.
しかし,\ 根号の中身Dのx^2\,の係数が負になった(1)とは異なり,\ (2)のy^2\,の係数は正である.
よって,\ (根号の中身D)≧0によって絞り込むことができない.
この場合,\ √{D}=nとおいて不定方程式に帰着させる.}
yで平方完成して定数を分離すると,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
n≧0と設定しておくことで(因数の差)≧0となり,\ 候補を減らすことができる.
別解は,\ 2段階の平方完成により2乗の差に変形する}ものである.
結局,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
汎用性は低いが,\ ax^2+bxy+cy^2\,の部分が因数分解できる場合}の別解も示した.
まず,\ x^2-2xy-3y^2=(x+y)(x-3y)に着目する.
次に,\ (x,\ yの1次式)(x,\ yの1次式)=(整数)}を目指し,\ 定数項を文字でおいて恒等式を作る.}
与式と(x+y+a)(x-3y+b)の展開式のx,\ yの項の係数を比較する.
a=-\,2,\ b=6とすると,\ 定数項以外は一致することがわかる.
後は,\ 定数項のつじつまを合わせる}と,\ (文字式)×(文字式)=(整数)の形となる.
(1)と(2)の違いは$D≧0$で範囲を絞り込めるか否かで,\ ここから解法の違いも生じてくる.
数IIIの2次曲線の知識があれば,\ この違いを図形的な観点からとらえることができる.
(1)のように$x^2\,とy^2\,の係数の正負が等しい$場合,\ 斜め楕円を表す.
(2)のように$x^2\,とy^2\,の係数の正負が異なる$場合,\ 斜め双曲線を表す.
楕円の場合,\ $x,\ y$の存在範囲が有限であり,\ 実数存在条件により絞り込むことができる.
$D≧0$として求まった$12≦ x≦72$は,\ 楕円が存在する$x$の値の範囲だったわけである.
一方,\ 双曲線の存在範囲は有限ではないから,\ 実数存在条件により絞り込むことはできない.
$(2)\ \ x^2-2xy-3y^2+4x+12y-17=0を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
x^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0型$
既に取り上げた$x^2± y^2=k$型や$axy+bx+cy+d=0$型なども本項の型の一種である.
つまり,\ 本項の型は,\ 2文字の2次の不定方程式の究極形態である.
目新しい発想は必要なく,\ 以下のようなすでに学習済みの発想で解くことができる.
[1]\ \ 解の公式を用いて1文字について解く.
[2]\ \ $平方完成により (文字式)^2+(文字式)^2=(整数)$に変形し,\ 不等式で絞り込む.
[3]\ \ $(文字式)×(文字式)=(整数)$に変形する.
$y$が整数となるためには,\ $-\,4x^2+16x-7=-\,(2x-1)(2x-7)≧0}$\ が必要である.
$-\,4x^2+16x-7が平方数となる}ことが必要である.$
1文字について解く方針を本解とした.\ 標準解法ではあるが,\ 別解とどちらが楽かは場合による.
また,\ 2乗の係数が1のyの方程式とみたほうが後が楽になる.
yが整数となるためには,\ それ以前に実数である必要がある.
つまり,\ 根号の中身Dが0以上}でなければならない.
さらに,\ 根号がはずれるためには根号の中身が平方数}でなければならないことも考慮して絞り込む.
別解は,\ 2段階の平方完成により2乗の和に変形する}ものである.
結局,\ x^2+y^2+k型}の不定方程式に帰着する.
まず2乗の係数が1のyの式とみて平方完成し,\ さらに残りのxの2次式を平方完成する.
後は,\ ( )^2≧0}を利用して絞り込む.\ 先に係数の大きい4(x-2)^2\,に着目すると効率がよい.
94\,以下の平方数は0と1のみである.\ また,\ (x-2)^2=0,\ 1のとき(y+x+2)^2=9,\ 5である.
x,\ yがともに整数となるのは,\ (x-2)^2=0\ かつ\ (y+x+2)^2=9\ のときのみとわかる.
(1)と同様に,\ 1文字について解く方針を本解とした.\ 2乗の係数が1のxの方程式とみる.
しかし,\ 根号の中身Dのx^2\,の係数が負になった(1)とは異なり,\ (2)のy^2\,の係数は正である.
よって,\ (根号の中身D)≧0によって絞り込むことができない.
この場合,\ √{D}=nとおいて不定方程式に帰着させる.}
yで平方完成して定数を分離すると,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
n≧0と設定しておくことで(因数の差)≧0となり,\ 候補を減らすことができる.
別解は,\ 2段階の平方完成により2乗の差に変形する}ものである.
結局,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
汎用性は低いが,\ ax^2+bxy+cy^2\,の部分が因数分解できる場合}の別解も示した.
まず,\ x^2-2xy-3y^2=(x+y)(x-3y)に着目する.
次に,\ (x,\ yの1次式)(x,\ yの1次式)=(整数)}を目指し,\ 定数項を文字でおいて恒等式を作る.}
与式と(x+y+a)(x-3y+b)の展開式のx,\ yの項の係数を比較する.
a=-\,2,\ b=6とすると,\ 定数項以外は一致することがわかる.
後は,\ 定数項のつじつまを合わせる}と,\ (文字式)×(文字式)=(整数)の形となる.
(1)と(2)の違いは$D≧0$で範囲を絞り込めるか否かで,\ ここから解法の違いも生じてくる.
数IIIの2次曲線の知識があれば,\ この違いを図形的な観点からとらえることができる.
(1)のように$x^2\,とy^2\,の係数の正負が等しい$場合,\ 斜め楕円を表す.
(2)のように$x^2\,とy^2\,の係数の正負が異なる$場合,\ 斜め双曲線を表す.
楕円の場合,\ $x,\ y$の存在範囲が有限であり,\ 実数存在条件により絞り込むことができる.
$D≧0$として求まった$12≦ x≦72$は,\ 楕円が存在する$x$の値の範囲だったわけである.
一方,\ 双曲線の存在範囲は有限ではないから,\ 実数存在条件により絞り込むことはできない.
