指数型の不定方程式と整数分野の重要手法

整数問題全般において役立つ2段階の重要手法が次である. 判明した性質を,\ 自分で文字を設定}して,\ 数式に反映する問題にある文字を消去}し, 自分が設定した文字の性質を調べる.  下の2つの解法は,\ 一見すると巧妙に思えるかもしれない.  しかし,\ この2段階の重要手法の認識があれば,\ 自然なものに思えるだろう. x+1とx-1の偶奇が一致}xを消去すると 両辺を2で割ると因数分解すると 因数分解し,\ 因数の差を調べて,\ 絞り込みの準備をする. 自然数条件とわかるが自明と考え省略. {2^yを2^aと2^bに分けて設定できるか}が,\ 指数型の最大のポイントである. 偶奇が一致するので,\ 1と2^yに分かれる可能性はない. {両方の因数が2の累乗だと判明したので,\ 自分で文字設定する}わけである. \さらに,\ {問題にあるxを消去し,\ 自分で設定したa,\ bの性質を調べる.} 後は,\ 両辺を積の形にすればよい.\ ただし,\ 指数計算に慣れている必要がある. 文字であるため,\ 因数分解がややこしいが,\ 2⁵-2²=2²(2³-1)と同じである. {指数が小さい方をくくり出す}ことで分数にならずに済む.\ がここで役立つ. 結局,\ (平方数)=(2の累乗)+1となるのは,\ 3²=2³+1のみであるとわかる. 2^y+1=(偶数)+1=(奇数)}\ である.$ { }\ よって,\ $x²も奇数}であり,\ それゆえxも奇数} { }\ 与式に代入して  $4k²-4k+1=2^y+1$ { }\ 整理すると    $4k(k-1)=2^y$ { }\ 両辺を4で割ると $k(k-1)=2^{y-2$ { }\ ここで,\ $kとk-1は隣り合う2整数}である.どちらか一方は偶数,\ もう一方は奇数}である.  に矛盾する.$ \ 少し観察すると,\ {xが奇数であることに気付く}ので,\ {自分で文字設定する.} {問題にあるxを消去}し,\ 整理していくと,\ 隣り合う2整数の積になる. {隣り合う2整数の偶奇は一致しない}から,\ 結局2通りに絞られる. 偶奇が一致する2^aと2^b\ に分かれる可能性はない.
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