素数の性質を利用する不定方程式

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pを2とは異なる素数とする.\ \ m^2=n^2+p^2\ を満たす自然数の組(m,\ n)がただ1組$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$存在することを証明せよ.                      \ \ [\,静岡大\,]$ 不定方程式}}}} \\\\[.5zh]   \textbf{\textcolor{blue}{素数の定義}  \textcolor{red}{2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数}} \\\\   $[1]$\ \ 素数の定義より,\ $素数pの\bm{\textcolor{red}{約数は\pm1と\pm p}}に限られる.$ \\[1zh]   $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{偶数の素数は2のみ}}  逆に言えば,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{3以上の素数は全て奇数}} \\\\   素数の性質は他にもあるが,\ 不定方程式でよく利用するのはこの2つの性質である.   $ここで,\ \textcolor{red}{pは奇素数であるから,\ p^2+1,\ p^2-1は正の偶数}である.$ \\[.5zh]   $よって,\ \bunsuu{p^2+1}{2},\ \bunsuu{p^2-1}{2}\ は自然数となる.$ \\[1zh]   $以上から,\ \bm{自然数の組(m,\ n)がただ1組存在する}ことがわかる.$ まず,\ 「存在することを証明せよ」という問題文をみてビビってはならない. \\[.2zh] 高校数学では,\ \bm{「存在することを証明せよ」が「求めよ」に等しい}ことが多い. \\[.2zh] 本問も,\ 所詮は頻出の不定方程式\ \bm{x^2-y^2=k型}であり,\ 単に(m,\ n)を求めればよいだけである. \\[.2zh] この型は,\ \bm{(文字式)\times(文字式)=(具体的な整数)}に変形し,\ 組合せを考えるのであった. \\[1zh] 通常,\ 右辺には文字が含まれていてはならず,\ 具体的な整数でなければならない. \\[.2zh] kのような文字の場合,\ 整数の積としての表現が(\pm\,1)\times(\pm\,k)のみとは限らないからである. \\[.2zh] 仮にk=6=(非素数)とすると,\ k=2\times\bunsuu k2\ (=2\times3)などと表現することもできてしまう. \\[.5zh] k=9のときのk=3\times\bunsuu k3\ (=3\times3)など,\ 整数の積としての表現の仕方は無限にある. \\[1.3zh] \bm{文字が含まれていても,\ それが素数ならば整数の積としての表現の仕方は有限になる.} \\[.2zh] 素数pを整数の積で表すとき,\ \bm{(\pm\,1)\times(\pm\,p)}以外ありえないからである. \\[.2zh] 本問の場合,\ (m+p)(m-p)=n^2\,と変形しても意味がなく,\ =p^2=(素数の積)とする必要がある. \\[.2zh] 一見同じだが,\ 素数を意識した変形ができるか否かが問われている. \\[1zh] 積がp^2\,となる組合せは  繰り返しになるが,\ \bm{pが素数なので組合せがこの6組のみといえる}ことに注意してほしい. \\[1zh] x^2-y^2=k型は,\ \bm{各因数の範囲と大小関係を考慮}すると候補を絞り込めるのであった. \\[.2zh] m>0,\ n>0よりm+n>0がいえ,\ さらにp^2>0よりm-n>0もいえる. \\[.2zh] 加えて,\ \bm{因数の差を計算}してみることで大小関係もわかる. \\[.2zh] 結局,\ m+n>m-n>0を満たすのは(m+n,\ m-n)=(p^2,\ 1)のみである. \\[1zh] (m,\ n)が求まるが,\ 見かけ上分数になっており,\ これが自然数であることを示す必要がある. \\[.2zh] (m,\ n)が自然数の組であるためには,\ \bm{分子p^2\pm1が2の倍数でなければならない.} \\[.2zh] ここで,\ 条件「\,pが2とは異なる素数」が効いてくる. \\[.2zh] あえて2を除外しているのは,\ p=2のときは成り立たないからであろう. \\[.2zh] \bm{他の素数では成り立つが2では成り立たないのならば,\ その要因を偶奇性に求めるのは自然}である. \\[.2zh] pは奇数なのでp^2\,も奇数であり,\ このときp^2\pm1は偶数である. $p,\ q,\ r$を$pp,\ n>pがほぼ明らかである. \\[.8zh] もう少し丁寧に示すと解答のようになる. \\[1zh] 各因数の範囲と大小関係を考慮すると,\ 結局組合せは2通りに絞られる. m^3+n^3=p$を満たす自然数$m,\ n$と素数$p$を求めよ. 因数の範囲を考慮するだけで組合せが1通りに絞られるが,\ その後がやや面倒である. \\[.2zh] m+n=p,\ m^2-mn+n^2=1はいずれも対称式(mとnを入れ替えても同じ式)である. \\[.2zh] \bm{対称式の連立方程式は,\ 対称性を維持したまま解く}のがスマートなのであった. \\[1zh] まず基本対称式m+n,\ mnを求める. \\[.2zh] そして,\ \bm{基本対称式をなす2数m,\ nを求めるには,\ m,\ nを解にもつ2次方程式を作成する.} \\[.2zh] m,\ nを解にもつ2次方程式の1つは(t-m)(t-n)=0,\ つまりt^2-(m+n)t+mn=0である. \\[.2zh] pが具体的な整数ならば,\ m+nとmnの値を代入して解けば,\ これでm,\ nの値が求まる. \\[1zh] 本問の場合は文字pが含まれているので,\ tとpの2次の不定方程式となる. \\[.2zh] 2次の不定方程式は,\ \bm{判別式}によって範囲を絞り込める可能性があるのであった. \\[.2zh] さらにpが素数という強力な条件により,\ p=2しかありえないことがわかる.
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