3つの集合の共通部分,\ 和集合,\ 補集合}ド・モルガンの法則の拡張 各法則が成り立つ(左辺と右辺の集合が一致する)ことをベン図で確かめてほしい. 結合法則は,\ のみ,\ のみならば演算順序が問われないことを意味している. よって,\ 括弧をつけずにA B C,\ A B Cとしても問題ない. しかし,\ と が混在する場合,\ 必ず括弧をつける必要がある. 一般に,\ (A B) C A(B C),\ (A B) C A(B C)\ だからである. ただし,\ A B} C\ は自動的に\ (A B}) C\ を意味するので,\ 括弧をつける必要はない. 分配法則は,\ 実数における\ a(b+c)=a b+a c\ と同じ構造である. ド・モルガンの法則は,\ ベン図を使わずともB C=Dと考えると容易に拡張できる. 12以下の自然数の集合を全体集合とし,\ 部分集合$A,\ B,\ C$を$A={1,\ 3,\ 5,\ 6,\ 11},$ $B={6,\ 7,\ 8,\ 11,\ 12},\ C={2,\ 3,\ 6,\ 8,\ 10}$とするとき,\ 次の集合を求めよ. \ まずはベン図を作成する.\ 重なりの多い部分から埋めていく. A,\ B,\ Cの3つの重なりは6,\ AとBの6以外の重なりは11といった具合である. 12個の要素をすべて書き込んだことを確認して完了する. AまたはBまたはC\ (AとBとC全部)\ より,\ 4,\ 9以外全部である. (AかつB)またはC={6,\ 11}または{2,\ 3,\ 6,\ 8,\ 10}={2,\ 3,\ 6,\ 8,\ 10,\ 11} ベン図で一気に考えるのが難しいならば,\ 順番に要素を書き出していくのが確実である. Aかつ(BまたはC)={1,\ 3,\ 5,\ 6,\ 11}かつ{2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ 11,\ 12}={3,\ 6,\ 11} ,\ より,\ (A B) C A(B C)\ がわかる. AかつB以外かつC.(AかつC)かつB以外と考えると楽である. A以外かつBかつC以外. ,\ ド・モルガンの法則の拡張を利用するとよい.\ それぞれ,\ ,\ の補集合である. A以外またはBまたはC\ (A以外とBとC全部). ド・モルガンの法則の拡張を利用すると A B C=A B C}=1,\ 5 「または」が多くてわかりづらい場合,\ こうして「かつ」に変換するのが有効である. AまたはB以外またはC以外\ (AとB以外とC以外全部) ド・モルガンの法則の拡張を利用すると A B C= A B C}=8 (11)(A以外またはB)かつC以外={2,\ 4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12}かつ{1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 12} (12)ド・モルガンの法則を利用すると,\ 「または」を「かつ」にでき,\ さらに1つの補集合にできる. AかつBかつC}={1,\ 3,\ ,5,\ 6,\ 11}かつ{6,\ 8}以外={1,\ 3,\ 5,\ 11} (13)分配法則を利用すると,\ 結局はと同じであることがわかる. (14)C B}\ にド・モルガンの法則を適用した後,\ 分配法則を利用するとよい.
