集合の要素,\ 集合の包含関係,\ 集合の表現 集合の要素 集合(set) 属すか否かが明確に判別できるものの集まり.\ $A$などの大文字で表す. {集合(set)} 1つの集合を英語でいうとワンセットである. {集合(set)} 「頭が良い人」などは属すか否かが明確に判別できないので集合ではない. 要素({元}{ げん) 集合に属する1つ1つのもの. [-.2zh] { 要素({元}{ げん)} \ $a$が集合$A$に属することを${a\in A$,\ 属さないことを${a\notin A$と表す. [-.2zh] { 要素({元}{ げん)} \ 記号の由来：要素(element)のe\ →\ $\epsilon$(エプシロン；ギリシャ文字)\ →\ $\in$ [-.2zh] { 要素({元}{ げん)} \ 有限個,\ 無限個の要素からなる集合をそれぞれ有限集合,\ 無限集合という. 空集合\ $$ 要素を1つももたない集合.\ empty set. 集合の{包}{ ほう{含}{ がん関係 ${x\in Aならば常にx\in B$であるとき,\ ${A}$は${B}$の部分集合であるといい,\ ${A B$と表す. $x\in Aならば常にx\in A$であるから,\ ${A}$自身も${A}$の部分集合である. ${A B\ かつ\ B A$であるとき,\ ${A}$と${B}$は等しいといい,\ ${A=B$と表す. 集合の記号には複数の流儀があるので注意を要する. 高校では,\ ${A B}$には${A=B}$も含まれるとする流儀を採用している. つまり,\ $A B$と$Aeqq B$の意味は同じである.\ この点,\ 不等式の$<$,\ $$とは異なる. ${A B\ かつ\ A B$であるとき,\ $A$は$B$の真部分集合であるという. $A$が$B$の真部分集合であることを${A B$と表す. 空集合$$はすべての集合の部分集合であると約束する. つまり,\ すべての集合$A$に対して${ A$である. 集合の表現 集合の外延的表示：要素を1つずつ書き並べる. 集合の内包的表示：要素の満たす条件を示す. ${要素の代表}|条件$ 1桁の奇数の集合$A$ならば,\ 以下のように表現できる. $A={1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9}$ $A={n|nは奇数,\ 1 n9}$, $A={2n-1|nは自然数,\ 1 n5}$ $A={x|xは実数,\ 0 x1}$などはの表現はできない. 1)次の集合の間に成り立つ関係を$,\ ,\ =$を用いて表せ. $A={n|nは1桁の素数},\ B={2n+1|nは整数,\ 1 n3}$ $A={x|x²-5x+6=0},\ B={n|nは6の正の約数}$ $A={3n+1|n=0,\ 1,\ 2},B={n|nは3で割ると1余る1桁の自然数}$ 集合$A={1,\ 2,\ 3,\ 4}$の部分集合をすべてあげよ. 要素の個数が少ない有限集合ならば,\ すべての要素を書き出せば直ちに包含関係がわかる. 素数の定義は,\ {2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数}である. 1は1の1個しか約数をもたないから素数ではない. 2は1と2の2個を約数にもつから素数である.\ すべての素数のうち2のみ偶数. 1 n3を満たす整数nはn=1,\ 2,\ 3で,\ 2n+1に代入するとBの要素がわかる. x²-5x+6=0を解くと (x-2)(x-3)=0より x=2,\ 3 6の約数は6を割り切る整数なので,\ 1と6も含まれる. {3で割ると1余る自然数には1も含まれる}ことに注意する. 13=01だからである. 要素が0個の部分集合(空集合)から順にあげていく.\ 空集合もA自身もAの部分集合である. 集合の要素には順序がないので,\ {1,\ 2}と{2,\ 1}は同じ集合である. をとしてはならない.\ は要素ではなく,\ これだけで集合を表すからである. 数A}の場合の数の知識があれば,\ すべて書き出せているかを心配しなくても済む. 要素が2個,\ 3個の部分集合がそれぞれ\ C4}{2}=6個,\ C4}{3}=4個あると計算でわかるからである. さらに,\ {要素の個数がn個の集合の部分集合は全部で2^n個}あることも学ぶ. よって,\ 本問は全部で2⁴=16個の部分集合があるはずであり,\ これを確認して完了する.
