x,\ y,\ zを実数とする.${ }\ に次のいずれかを入れよ. \nagamaru1\ 「必要十分条件である」 \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」 \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」 \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」 $x²+y²+z²=0は,\ x+y+z=0かつxy+yz+zx=0であるための\ { }$ $x²+y²+z²=0は,\ x+y+z=0かつxyz=0であるための\ { }$ $x²+y²+z²-xy-yz-zx=0は,\ x²+y²+z²+xy+yz+zx=0であるた$ $めの\ { }$ $(xy)²が無理数であることは,\ xとyの少なくとも一方が無理数であるための\ { }$ $xとyがともに無理数であることは,\ x+yとx-yの少なくとも一方が無理数$ $であるための\ { }$ $ {ABC}において,\ a²+b²-c²=0であることは,\ {ABC}が直角三角形であるた$ $めの\ { }$ $ {ABC}において,\ cos Acos Bcos C>0であることは,\ {ABC}が鋭角三角形で$ $あるための\ { }$ $集合A,\ Bについて,\ A B=Aは,\ A B=Bであるための\ { }$ 必要条件と十分条件の問題演習 $x²+y²+z²=0$\ \ x+y+z=0 かつ xy+yz+zx=0 \ {\nagamaru1\ 必要十分条件}$ $x²+y²+z²=0$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ○\limits_ ×}$}\ $x+y+z=0かつxyz=0 {\nagamaru3\ 十分条件}$ $x²+y²+z²-xy-yz-zx=0$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ×\limits_ ○}$}\ $x²+y²+z²+xy+yz+zx=0$ 33zw}${\nagamaru2\ 必要条件}$ $(xy)²が無理数$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ○\limits_ ×}$}\ $xとyの少なくとも一方が無理数 \ {\nagamaru3\ 十分条件}$ $xとyがともに無理数$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ○\limits_ ×}$}\ $x+yとx-yの少なくとも一方が無理数$ 33zw}${\nagamaru3\ 十分条件}$ $a²+b²-c²=0$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ○\limits_ ×}$}\ ${ABC}が直角三角形 {\nagamaru3\ 十分条件}$ $cos Acos Bcos C>0$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ○\limits_ ○}$}\ ${ABC}が鋭角三角形 {\nagamaru1\ 必要十分条件}$ $A B=A$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ○\limits_ ○}$}\ $A B=B {\nagamaru1\ 必要十分条件}$ $[l} x²+y²+z²=0x=y=z=0\ より,\ は明らかに成り立つ. の証明:x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=0²-20=0 x²+y²+z²=0x=y=z=0\ より,\ は明らかに成り立つ. の反例:x=0,\ y=1,\ z=-1 x²+y²+z²-xy-yz-zx=0 \ 2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0 \ (x²-2xy+y²)+(y²-2yz+z²)+(z²-2zx+x²)=0 \ (x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0 \ x-y=0かつy-z=0かつz-x=0x=y=z x²+y²+z²+xy+yz+zx=0 \ 2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2zx=0 \ (x²+2xy+y²)+(y²+2yz+z²)+(z²+2zx+x²)=0 \ (x+y)²+(y+z)²+(z+x)²=0 \ x+y=0かつy+z=0かつz+x=0x=y=z=0 の対偶「xとyがともに有理数(xy)²が有理数」は真. の反例:x=2,\ y=0 の対偶「x+yとx-yがともに有理数xが有理数またはyが有理数」を示す. x+y= pq,\ x-y= rs\ (p,\ q,\ r,\ s:整数,\ q0,\ s0)\ とする. このとき x={ps+qr}{2qs}=(有理数),y={ps-qr}{2qs}=(有理数) の反例:x=2,\ y=0 a²+b²=c²∠{C}=90°}の直角三角形 0°<θ<180° のとき 0°<θ<90° & \ cosθ>0 θ=90° & \ cosθ=0 90°<θ<180° & \ cosθ<0 より cos Acos Bcos C>0 \ (cos A,\ cos B,\ cos Cがすべて正)または(cos A,\ cos B,\ cos Cの1つが正で2つが負) \ 0°
