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3つの集合の共通部分,\ 和集合,\ 補集合}ド・モルガンの法則の拡張
各法則が成り立つ(左辺と右辺の集合が一致する)ことをベン図で確かめてほしい. \\[1zh] 結合法則は,\ \cap のみ,\ \cup のみならば演算順序が問われないことを意味している. \\[.2zh] よって,\ 括弧をつけずにA\cap B\cap C,\ A\cup B\cup Cとしても問題ない. \\[.2zh] しかし,\ \cap と\cup が混在する場合,\ 必ず括弧をつける必要がある. \\[.2zh] 一般に,\ (A\cap B)\cup C\neqq A\cap(B\cup C),\ (A\cup B)\cap C\neqq A\cup(B\cap C)\ だからである. \\[.2zh] ただし,\ \overline{A\cap B}\cup C\ は自動的に\ (\overline{A\cap B})\cup C\ を意味するので,\ 括弧をつける必要はない. \\[1zh] 分配法則は,\ 実数における\ a\times(b+c)=a\times b+a\times c\ と同じ構造である. \\[1zh] ド・モルガンの法則は,\ ベン図を使わずともB\cap C=Dと考えると容易に拡張できる. 12以下の自然数の集合を全体集合とし,\ 部分集合$A,\ B,\ C$を$A=\{1,\ 3,\ 5,\ 6,\ 11\},$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$B=\{6,\ 7,\ 8,\ 11,\ 12\},\ C=\{2,\ 3,\ 6,\ 8,\ 10\}$とするとき,\ 次の集合を求めよ. \
まずはベン図を作成する.\ 重なりの多い部分から埋めていく. \\[.2zh] A,\ B,\ Cの3つの重なりは6,\ AとBの6以外の重なりは11といった具合である. \\[.2zh] 12個の要素をすべて書き込んだことを確認して完了する. \\[1zh] (2)\ \ AまたはBまたはC\ (AとBとC全部)\ より,\ 4,\ 9以外全部である. \\[1zh] (3)\ \ (AかつB)またはC=\{6,\ 11\}または\{2,\ 3,\ 6,\ 8,\ 10\}=\{2,\ 3,\ 6,\ 8,\ 10,\ 11\} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ ベン図で一気に考えるのが難しいならば,\ 順番に要素を書き出していくのが確実である. \\[1zh] (4)\ \ Aかつ(BまたはC)=\{1,\ 3,\ 5,\ 6,\ 11\}かつ\{2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ 11,\ 12\}=\{3,\ 6,\ 11\} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ (3),\ (4)より,\ (A\cap B)\cup C\neqq A\cap(B\cup C)\ がわかる. \\[1zh] (5)\ \ AかつB以外かつC.\ \ (AかつC)かつB以外と考えると楽である. \\[1zh] (6)\ \ A以外かつBかつC以外. \\[1zh] (7),\ (8)\ \ ド・モルガンの法則の拡張を利用するとよい.\ それぞれ,\ (2),\ (1)の補集合である. \\[1zh] (9)\ \ A以外またはBまたはC\ (A以外とBとC全部). \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ ド・モルガンの法則の拡張を利用すると \overline A\cup B\cup C=\overline{A\cap \overline B\cap \overline C}=\overline{\{1,\ 5\}} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 「または」が多くてわかりづらい場合,\ こうして「かつ」に変換するのが有効である. \\[1zh] (10)\ \ AまたはB以外またはC以外\ (AとB以外とC以外全部) \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ ド・モルガンの法則の拡張を利用すると A\cup\overline B\cup\overline C=\overline{\overline A\cap B\cap C}=\overline{\{8\}} \\[1zh] (11)\ \ (A以外またはB)かつC以外=\{2,\ 4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12\}かつ\{1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 12\} \\[1zh] (12)\ \ ド・モルガンの法則を利用すると,\ 「または」を「かつ」にでき,\ さらに1つの補集合にできる. \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ Aかつ\overline{BかつC}=\{1,\ 3,\ ,5,\ 6,\ 11\}かつ\{6,\ 8\}以外=\{1,\ 3,\ 5,\ 11\} \\[1zh] (13)\ \ 分配法則を利用すると,\ 結局は(3)と同じであることがわかる. \\[1zh] (14)\ \ \overline{C\cap B}\ にド・モルガンの法則を適用した後,\ 分配法則を利用するとよい. \\[.2zh]