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次の集合$A,\ B$において,\ $A=B$であることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $A=\{4n+3\,|\,nは整数\},\ \ B=\{4n-1\,|\,nは整数\}$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $A=\{2x+5y\,|\,x,\ yは整数\},\ \ B=\{3x-4y\,|\,x,\ yは整数\}$ \\
集合の相等の証明}}}} \\\\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{cyan}{A=B}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{A\subset B\ かつ\ A\supset B}}$}} \\\\
(1)\ \ [1]\ \ $x\in A$とすると,\ \textcolor{red}{$x=4n+3\ (n:整数)$}とおける. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ このとき $x=4n+3=4(n+1)-1$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $n+1$は整数であるから $\textcolor{red}{4(n+1)-1\in B}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ \textcolor{red}{$x\in Aならばx\in B$}が成り立つから   $A\subset B$ \\\\
\phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ $x\in B$とすると,\ \textcolor{red}{$x=4n-1\ (n:整数)$}とおける. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ このとき $x=4n-1=4(n-1)+3$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $n-1$は整数であるから $\textcolor{red}{4(n-1)+3\in A}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ \textcolor{red}{$x\in Bならばx\in A$}が成り立つから   $A\supset B$ \\\\
\centerline{$\therefore\ \ [1],\ [2]\,より \bm{A=B}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
集合の相等(A=B)を示すには,\ A\subset B\ かつ\ A\supset B\ を示すのが基本となる. \\[.2zh] 高校数学では使う機会が限られる証明方法だが,\ 大学数学では頻繁に利用する. \\[.2zh] A\subset Bを示すには,\ \bm{「x\in A\ ならば常に\ x\in B」を示せばよい}のであった. \\[.2zh] つまり,\ x=4n+3=4○-1\ (○:整数)と表すことができれば,\ x\in Bが示されたことになる. \\[.2zh] A\supset Bの証明も同様であり,\ \bm{「x\in B\ ならば常に\ x\in A」を示せばよい.} \\[.2zh] 本問により,\ 4で割って3余る数の集合と4で割って-1余る数の集合が一致することがわかる.
\ $a\in A$とすると,\ \textcolor{red}{$a=2x+5y\ (x,\ y:整数)$}とおける. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ このとき\ \ $a=2x+5y=(3\cdot2-4\cdot1)x+(3\cdot3-4\cdot1)y=3(2x+3y)-4(x+y)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $2x+3y,\ x+y$は整数であるから $\textcolor{red}{3(2x+3y)-4(x+y)\in B}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ \textcolor{red}{$a\in Aならばa\in B$}が成り立つから   $A\subset B$ \\\\
\phantom{ [1]}\ \ [2]\ \ $b\in B$とすると,\ \textcolor{red}{$b=3x-4y\ (x,\ y:整数)$}とおける. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ このとき\ \ $b=3x-4y=(2\cdot4-5\cdot1)x-(2\cdot2-5\cdot0)y=2(4x-2y)+5(-\,x)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $4x-2y,\ -\,x$は整数であるから $\textcolor{red}{2(4x-2y)+5(-\,x)\in A}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ \textcolor{red}{$b\in Bならばb\in A$}が成り立つから   $A\supset B$ \\\\
\centerline{$\therefore\ \ [1],\ [2]\,より \bm{A=B}$}
方針・手順は(1)と同じだが,\ 2x+5y=3○-4△\ (○,\ △:整数)の変形が容易ではない. \\[.2zh] まず,\ 2x+5yの係数である\bm{2と5をそれぞれ3○-4△\ (○,\ △:整数)の形で表す.} \\[.2zh] つまり,\ 3○-4△=2,\ 3○’-4△’=5となるような整数の組(○,\ △),\ (○’,\ △’)を考える. \\[.2zh] 実はこのような整数の組は無限に存在するので,\ そのうちの1つを頑張って探せばよい. \\[.2zh] 難しそうに思えるが,\ 次の法則を利用するとすぐに見つかる. \\[.2zh] 「0から他方の文字の係数より1小さい整数までの中に,\ 式を満たす整数が必ず1つ存在する」 \\[.2zh] 例えば,\ ○の係数3に着目し,\ △に0,\ 1,\ 2を代入することで必ず整数の組を見つけることができる. \\[.2zh] 実際,\ △=1とすると○=2が導かれる.\ 解答では,\ (○,\ △)=(2,\ 1),\ (○’,\ △’)=(3,\ 1)とした. \\[.2zh] △の係数4に着目して○に0,\ 1,\ 2,\ 3を代入してもよいが,\ 候補が少ない方を優先すべきである. \\[.2zh] 2=3\cdot2-4\cdot1,\ 5=3\cdot3-4\cdot1と表せることがわかるので,\ これを\bm{3と-4でくくり直せばよい.} \\[1zh] 本問の背景には,\ 整数分野で学習する次の定理がある. \\[.2zh] 「整数a,\ bが互いに素であるとき,\ 全ての整数nが\ n=ax+by\ (x,\ y:整数)で表される」 \\[.2zh] つまり,\ \bm{整数a,\ bが互いに素であるとき,\ \{ax+by\,|\,x,\ yは整数\}は整数全体の集合と一致する.} \\[.2zh] 結局,\ 本問の\{2x+5y\}と\{3x-4y\}の係数の2,\ 5,\ 3,\ -\,4に本質的な意味は何もない. \\[.2zh] 別に\{6x+7y\}や\{9x-11y\}など,\ 互いに素(最大公約数が1)ならば何でもよかったのである. \\[.2zh] \{2x+5y\}=\{3x-4y\}=\{6x+7y\}=\{9x-11y\}=\{整数全体\}\ というわけである. \\[