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次の集合$A,\ B$において,\ $A\subset B$\ かつ\ $A\neqq B$であることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $A=\{4n+1\,|\,nは整数\},\ \ B=\{2n+1\,|\,nは整数\}$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $A=\{8n+3\,|\,nは整数\},\ \ B=\{4n-1\,|\,nは整数\}$ \\
集合の包含関係の証明}}}x\in A\ ならば常に\ x\in B}}$}n:整数)$}とおける. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $2n+1$は整数であるから
(1)\ \ 試しに要素を書き出してみると以下のようになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ A\subset Bであるように見えるが,\ 無限にある要素すべてで成り立っている保証はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このように,\ \bm{無限集合では要素の書き出しやベン図の作成での証明ができない}のである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 定義である\bm{x\in A\ ならば常に\ x\in Bを示す}ことにより,\ A\subset Bを証明することになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ x\in Aが前提となるので,\ x=4n+1\ (n:整数)とおける. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを\bm{x=2○+1\ (○:整数)の形で表す}ことができれば,\ x\in Bが示されたことになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ AとBで同じ文字nが使われていることに深い意味はないことに注意してほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 仮にB=\{2m+1\,|\,mは整数\}\,としても要素を書き出せば同じ集合であり,\ m,\ nに意味はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ B=\{2○+1\,|\,○は整数\}\ と考えておくのが最もわかりやすい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{○の部分は,\ 整数ならば何でもよい}というわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ ○を2nとすることで4n+1が2○+1の形で表せることがわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ○は整数でなければならないので,\ \bm{2nが整数であることを明記}しておくべきである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ AがBの部分集合であることが示されるが,\ 題意は真部分集合であることの証明である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 念のため確認しておくと,\ 高校でのA\subset BはA\subseteqq Bと同じ意味である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ A\subseteqq Bが証明済みなので,\ 後は\bm{x\notin Aかつx\in Bとなる要素を具体的に1つ挙げる}とよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さて,\ 4n+1は「4で割ると1余る数」,\ 2n+1は「2で割ると1余る数(奇数)」を意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{「4で割ると1余る数がすべて奇数であることを示せ」}でも同じ解法がとれる.
\phantom{(1)}\ \ 8n+3=4○-1\ (○:整数)の形で表すことが目標になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (1)と同様に4(2n)-1としても8n-1にしかならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4と-1の部分は変更できないので,\ ○内に+1を加えて4(2n+1)-1とすることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 8n+3は「8で割ると3余る数」,\ 4n-1は「4で割ると-1余る数」を意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 「4で割ると-1余る数」とは,\ 「4で割ると3余る数」のことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ 11は4で割ると3余る.\ これは,\ 4の倍数8を基準として3過剰ということである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もし4の倍数12を基準とすると11は1不足している. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを-1の余りとみなすことができるわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 負の余りを考えることは,\ 一部の問題で有効である.