検索用コード
整数を要素とする2つの集合$A,\ B$を$A=\{2,\ 5,\ a^2\},\ B=\{4,\ a-1,\ a+b,\ 9\}$と \\[.2zh] \hspace{.5zw}するとき,\ $A\cap B=\{5,\ 9\}$となるような定数$a,\ b$の値を求めよ.   \ [広島修道大] \\
共通要素から集合の要素の決定}}}} \\\\[.5zh] $\textcolor{red}{a^2=9}$\textcolor{red}{が必要}であるから $\textcolor{cyan}{a=\pm\,3}$ \\[1zh] [1]\ \ $\textcolor{cyan}{a=3}$のとき  $A=\{\textcolor{magenta}{2},\ 5,\ \textcolor{magenta}{9}\}, B=\{\textcolor{magenta}{2},\ 4,\ \textcolor{magenta}{9},\ 3+b\}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$a=3$のとき}  2も共通要素になるので条件を満たさない. \\[1zh] [2]\ \ $\textcolor{cyan}{a=-\,3}$のとき $A=\{2,\ 5,\ \textcolor{magenta}{9}\}, B=\{-\,4,\ 4,\ \textcolor{magenta}{9},\ b-3\}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$a=3$のとき}  $\textcolor{red}{b-3=5}$ より $b=8$ \\\\
\centerline{$\therefore\ \ [1],\ [2]\,より \bm{a=-\,3,\ \ b=8}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
AとBの要素を比較し,\ \bm{必要条件から攻める}(最低限必要な条件から考える). \\[.2zh] Aはすでに5を要素にもつことが確定しているので,\ a^2\,が9でなければならないことがわかる. \\[.2zh] 逆に,\ Bのa-1またはa+bが5でなければならないこともいえるが,\ こちらは処理が面倒である. \\[.2zh] a^2=9から先に処理するとaの値の候補が求まるので,\ 実際に代入して十分性を確認する.
U=\{x\,|\,xは実数\}$を全体集合とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$U$の部分集合$A=\{2,\ 4,\ a^2+1\},\ B=\{4,\ a+7,\ a^2-4a+5\}$について, \\[.2zh] \hspace{.5zw}$A\cap\overline B=\{2,\ 5\}$となるように定数$a$の値を定めよ.         [富山県立大] \\
a^2+1=5}$が必要}であるから $\textcolor{cyan}{a=\pm\,2}$ \\[1zh] [1]\ \ $\textcolor{cyan}{a=2}$のとき  $A=\{2,\ \textcolor{magenta}{4},\ 5\},\ \ B=\{1,\ \textcolor{magenta}{4},\ 9\}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$a=3$のとき}  $A\cap\overline B=\{2,\ 5\}$より,\ 条件を満たす. \\[1zh] [2]\ \ $\textcolor{cyan}{a=-\,2}$のとき $A=\{2,\ \textcolor{magenta}{4},\ \textcolor{magenta}{5}\},\ \ B=\{\textcolor{magenta}{4},\ \textcolor{magenta}{5},\ 17\}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$a=3$のとき}  $A\cap\overline B=\{2\}$より,\ 条件を満たさない. \\\\
\centerline{$\therefore\ \ [1],\ [2]\,より \bm{a=2}$} \\\\\\
}$x$についての2次方程式$x^2+(3-a)x-3a=0\ \cdots\maru1$,\ \ $x^2-(b+1)x+b=0\ \cdots\maru2$, \\[.2zh] \hspace{.5zw}$x^2-(2a+5b)x+10ab=0\ \cdots\maru3$があり,\ \maru1,\ \maru2,\ \maru3の解の集合を$P,\ Q,\ R$とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}集合$P\cap Q\cap R$がただ1つの負の数からなるときの$a,\ b$の値を求めよ. [京都女子大] \\
$P=\{-\,3,\ a\}, Q=\{1,\ b\}, R=\{2a,\ 5b\}$ \\[.5zh] \textcolor{red}{$b$が共通するただ1つの負数であることが必要}である. \\\\
[1]\ \ $\textcolor{cyan}{b=-\,3}$のとき $P=\{\textcolor{magenta}{-\,3},\ a\}, Q=\{1,\ \textcolor{magenta}{-\,3}\}, R=\{2a,\ -\,15\}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$\textcolor{cyan}{b=-\,3}$のとき} \textcolor{red}{$2a=-\,3$が必要}であるから $\textcolor{cyan}{a=-\bunsuu32}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$\textcolor{cyan}{b=-\,3}$のとき} このとき $P=\left\{\textcolor{magenta}{-\,3},\ -\bunsuu32\right\}, Q=\{1,\ \textcolor{magenta}{-\,3}\}, R=\{\textcolor{magenta}{-\,3},\ -\,15\}$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$\textcolor{cyan}{b=-\,3}$のとき} よって,\ 条件を満たす. \\[1zh] [2]\ \ $\textcolor{cyan}{b=a}$のとき  $P=\{-\,3,\ \textcolor{magenta}{a}\}, Q=\{1,\ \textcolor{magenta}{a}\}, R=\{2a,\ 5a\}$ \\[.5zh] \phantom{ [2]\ \ $\textcolor{cyan}{b=a}$のとき}  $a=2a$としても$a=5a$としても$a=0$となり,\ 条件を満たさない. \\\\
x^2+(3-a)x-3a=0\ \Longleftrightarrow\ (x+3)(x-a)=0\ \Longleftrightarrow\ x=-\,3,\ a \\[.2zh] x^2-(b+1)x+b=0\ \Longleftrightarrow\ (x-1)(x-b)=0\ \Longleftrightarrow\ x=1,\ b \\[.2zh] x^2-(2a+5b)x+10ab=0\ \Longleftrightarrow\ (x-2a)(x-5b)=0\ \Longleftrightarrow\ x=2a,\ 5b \\[1zh] まずQに着目すると,\ bが共通するただ1つの負の数でなければならないことがわかる. \\[.2zh] Pの-3が共通するただ1つの負の数だと安易に断定してはならない. \\[.2zh] aの方が共通するただ1つの負の数となる可能性もありえるからである. \\[.2zh] 結局,\ 両方の場合を考慮することになる. \\[1zh] [2]\ \ b=aを代入すると,\ aがPとQの共通要素であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ これがRとも共通であるためには,\ a=2aまたはa=5aであることが必要である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ しかし,\ どちらにしてもa=0となってしまい,\ 問題の条件を満たさなくなる.
集合$A,\ B$を$A=\{1,\ 4,\ 2a+1,\ a^2\},\ B=\{9,\ b,\ b-3a\}$において$A\supset B$となると \\[.2zh] \hspace{.5zw}き,\ $a,\ b$の組み合わせをすべて求めよ.             [藤田保健衛生大] \\
{$2a+1=9$または$a^2=9$},\ つまり$\textcolor{cyan}{a=4,\ \pm\,3}$が\textcolor{red}{必要}である. \\[1zh] [1]\ \ $\textcolor{cyan}{a=4}$のとき  $A=\{1,\ 4,\ \textcolor{magenta}{9},\ 16\}, B=\{\textcolor{magenta}{9},\ b,\ b-12\}$   よって $b=16$ \\[1zh] [2]\ \ $\textcolor{cyan}{a=3}$のとき  $A=\{1,\ 4,\ 7,\ \textcolor{magenta}{9}\}, B=\{\textcolor{magenta}{9},\ b,\ b-9\}$   条件を満たさない. \\[1zh] [3]\ \ $\textcolor{cyan}{a=-\,3}$のとき $A=\{-\,5,\ 1,\ 4,\ \textcolor{magenta}{9}\}, B=\{\textcolor{magenta}{9},\ b,\ b+9\}$   よって $b=-\,5$ \\\\
\centerline{$\therefore\ \ [1]\,~\,[3]\,より \bm{(a,\ b)=(4,\ 16),\ (-\,3,\ -\,5)}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
BがAの部分集合である.\ つまり,\ Bの要素はすべてAの要素でなければならない. \\[.2zh] よって,\ Bの要素である9がAの要素でなければならない. \\[.2zh] その条件を立式すると,\ aの候補が3個みつかる. \\[.2zh] 後はそれぞれのaのときについて,\ A\supset Bとなるようにbを定めればよい. \\[.2zh] [1]\ \ bとb-12は差が12であり,\ A=\{1,\ 4,\ 9,\ 16\}から差が12の組を探してb=16と求まる. \\[.2zh] [2]\ \ bとb-9は差が9であるが,\ A=\{1,\ 4,\ 7,\ 9\}の中に差が9になる組は存在しない.