検索用コード
x,\ yを実数,\ m,\ nを自然数とする.$\ \ \fbox{  }\ に次のいずれかを入れよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} \nagamaru1\ 「必要十分条件である」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」 \\\\
\hspace{.5zw}(1)\ \ $nが奇数であることは,\ nが素数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $xとyがともに整数であることは,\ x+yとxyがともに整数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $nが12の倍数かつ18の倍数であることは,\ nが6の倍数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $nが2の倍数かつ3の倍数でないことは,\ nが6の倍数でないための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(5)\ \ $n^2\,が2の倍数であることは,\ nが2の倍数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(6)\ \ $n^2\,が4の倍数であることは,\ nが4の倍数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(7)\ \ $m^2\,がnの倍数であることは,\ m^2\,がn^2\,の倍数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(8)\ \ $n^2\,を7で割ると1余ることは,\ nを7で割ると1余るための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(9)\ \ $n^2\,を4で割ると1余ることは,\ nを2で割ると1余るための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(\scalebox{0.6}[1]{10})\ \ $mn\,が奇数であることは,\ m^2+n^2\,が偶数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(\scalebox{0.6}[1]{11})\ \ \scalebox{.97}[1]{$mとnがともに偶数であることは,\ m+nとmnがともに偶数であるための\ \fbox{  }$} \\[.8zh]

\hspace{.5zw}(\scalebox{0.6}[1]{12})\ \ $整数a,\ bについて,\ a^2+b^2\leqq1は,\ \zettaiti a+\zettaiti b\leqq1であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] {必要条件と十分条件の問題演習\maru4}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ $nが奇数$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}}\limits_{\text{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}$}\ $nが素数    \therefore\ \ \bm{\nagamaru4\ どちらでもない}$ \\\\
(1)\ \ \Longrightarrow の反例:n=1,\ 9など.   \Longleftarrow の反例:n=2のみ.\ 2が唯一の偶素数は常識だろう. \\[1zh] (2)\ \ \Longleftarrow の反例:x=\ruizyoukon2,\ y=-\ruizyoukon2\ (覚えておくべき反例) \\[1zh] (3)\ \ 12の倍数かつ18の倍数\ \Longleftrightarrow\ 36の倍数\ \Longrightarrow\ 6の倍数 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の反例:n=6,\ 12,\ 18など. \\[1zh] (4)\ \ まず,\ \bm{「でない」は直前の言葉のみにかかる}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 題意は「(2の倍数かつ3の倍数)でない」ではなく,\ 「2の倍数かつ(3の倍数でない)」である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3の倍数でないものが6の倍数になるはずはないので,\ \Longrightarrow は当然成り立つ. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の反例:n=1,\ 3,\ 5,\ 7など. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{整数の集合は,\ 具体的に要素を書き出して包含関係を見てみる}ことも有効である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2の倍数かつ3の倍数でない自然数:2,\ 4,\ 8,\ 10,\ 14,\ 16,\ 20,\ \cdots \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 6の倍数でない自然数:1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 19,\ 20,\ \cdots \\[1zh] (5)\ \ \Longrightarrow の対偶「nが2の倍数でない(奇数)\ \Longrightarrow\ n^2\,が2の倍数でない(奇数)」を証明する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n=2k-1\ (k:自然数)とすると,\ n^2=(2k-1)^2=4k^2-4k+1=2(2k^2-2k)+1=(奇数) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の証明:n=2k\ (k:自然数)とすると,\ n^2=2(2k^2)=(2の倍数) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n=2k+1\ (k:自然数)とするとn=3,\ 5,\ \cdots\ を意味してしまうので,\ n=2k-1とした. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ nは自然数という大前提があるので,\ n=\ruizyoukon2\,などを反例と考えないように. \\[1zh] (6)\ \ \Longrightarrow の反例:n=6,\ 10など,\ 4の倍数でない偶数. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ nが4の倍数でなくても,\ nが偶数でさえあれば2乗すると2^2=4の倍数になるわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の証明:n=4k\ (k:自然数)とすると,\ n^2=4(4k^2)=(4の倍数) \\[1zh] (8)\ \ \Longrightarrow の反例:n=6,\ 13,\ 20など,\ 7で割ると6余る自然数. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の証明:n=7k-6\ (k:自然数)とする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n^2=(7k-6)^2=49k^2-84k+36=7(7k^2-12k+5)+1=(7で割ると1余る自然数) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{7で割ると1余る自然数には1も含まれる}ことに注意する(1\div7=0\cdots1). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n=7k+1\ (k:自然数)とするとn=8,\ 15,\ \cdots\ を意味してしまうので,\ n=7k-6とした. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数\text{A}の整数分野を学習済みならば,\ 以下のように考えることが可能になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \mod7 
\phantom{(1)}\ \ つまり,\ 「\bm{n^2を7で割ると1余る\ \Longleftrightarrow\ nを7で割ると1または6余る}」である. \\[1zh] (9)\ \ \Longrightarrow の対偶「nが2で割りきれる\ \Longrightarrow\ n^2\,を4で割ると1余る数ではない」を証明する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n=2k\ (k:自然数)とすると,\ n^2=4k^2=(4で割り切れる) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の証明:n=2k-1\ (k:自然数)とする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n^2=(2k-1)^2=4k^2-4k+1=4(k^2-k)+1=(4で割ると1余る自然数) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \mod4 
\phantom{(1)}\ \ つまり,\ 「\bm{n^2を4で割ると1余る\ \Longleftrightarrow\ nを4で割ると1または3余る\ \Longleftrightarrow\ 奇数}」である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 同様に,\ 「\bm{n^2が4で割り切れる\ \Longleftrightarrow\ nを4で割ると0または2余る\ \Longleftrightarrow\ 偶数}」もわかる. \\[1zh] (10)\ \ \Longrightarrow の証明:mnが奇数\ \Longleftrightarrow\ mとnがともに奇数 \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ m=2k-1,\ n=2l-1\ (k,\ l:自然数)とおける. \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ m^2+n^2=(2k-1)^2+(2l-1)^2=2(2k^2-2k+2l^2-2l+1)=(偶数) \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ \Longleftarrow の反例:m=2,\ n=2など,\ mとnがともに偶数の組み合わせ. \\[1zh] (11)\ \ \Longrightarrow の証明:m=2k,\ n=2l\ (k,\ l:自然数)とおく. \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ m+n=2(k+l)=(偶数),\ mn=2(2kl)=(偶数) \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ \Longleftarrow の証明:mnが偶数\ \Longleftrightarrow\ (m,\ n)=(偶数,\ 偶数),\ (偶数,\ 奇数),\ (奇数,\ 偶数) \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ このうち,\ m+nも偶数となるのは(m,\ n)=(偶数,\ 偶数)の場合のみ. \\[1zh] (12)\ \ 領域を用いて図形的に考える.\ a^2+b^2\leqq1は円の内部,\ \zettaiti a+\zettaiti b\leqq1は正方形の内部を表す. \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ 整数a,\ bは図形的には格子点である. \\[.2zh] \phantom{(10)}\ \ どちらの領域も,\ (a,\ b)=(0,\ 0),\ (1,\ 0),\ (0,\ 1),\ (-\,1,\ 0),\ (0,\ -\,1)であるとわかる. \\[1zh]