検索用コード
x,\ y,\ zを実数とする.$\ \ \fbox{  }\ に次のいずれかを入れよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} \nagamaru1\ 「必要十分条件である」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」 \\\\
\hspace{.5zw}(1)\ \ $x^2+y^2+z^2=0は,\ x+y+z=0かつxy+yz+zx=0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $x^2+y^2+z^2=0は,\ x+y+z=0かつxyz=0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0は,\ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0であるた$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(2)}\ \ $めの\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $(xy)^2\,が無理数であることは,\ xとyの少なくとも一方が無理数であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(5)\ \ $xとyがともに無理数であることは,\ x+yとx-yの少なくとも一方が無理数$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(6)\ \ $\triangle \mathRM{ABC}において,\ a^2+b^2-c^2=0であることは,\ \triangle \mathRM{ABC}が直角三角形であるた$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $めの\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(7)\ \ $\triangle \mathRM{ABC}において,\ \cos A\cos B\cos C>0であることは,\ \triangle \mathRM{ABC}が鋭角三角形で$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $あるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(8)\ \ $集合A,\ Bについて,\ A\cup B=Aは,\ A\cap B=Bであるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] 必要条件と十分条件の問題演習\maru3}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ $x^2+y^2+z^2=0$\ \
x+y+z=0 \\
かつ \\
xy+yz+zx=0
\ \bm{\nagamaru1\ 必要十分条件}$ \\\\\\
(2)\ \ $x^2+y^2+z^2=0$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}}\limits_{\text{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}$}\ $x+y+z=0\ \ かつ\ \ xyz=0    \therefore\ \ \bm{\nagamaru3\ 十分条件}$ \\\\
(3)\ \ $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}}\limits_{\text{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}$}\ $x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0$ \\
\hspace{33zw}$\therefore\ \ \bm{\nagamaru2\ 必要条件}$ \\\\
(4)\ \ $(xy)^2\,が無理数$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}}\limits_{\text{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}$}\ $xとyの少なくとも一方が無理数   \ \therefore\ \ \bm{\nagamaru3\ 十分条件}$ \\\\
(5)\ \ $xとyがともに無理数$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}}\limits_{\text{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}$}\ $x+yとx-yの少なくとも一方が無理数$ \\
\hspace{33zw}$\therefore\ \ \bm{\nagamaru3\ 十分条件}$ \\\\
(6)\ \ $a^2+b^2-c^2=0$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}}\limits_{\text{{\Large \textbf{\textcolor{magenta}{×}}}}}$}\ $\triangle\mathRM{ABC}が直角三角形    \therefore\ \ \bm{\nagamaru3\ 十分条件}$ \\\\
(7)\ \ $\cos A\cos B\cos C>0$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}}\limits_{\text{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}$}\ $\triangle\mathRM{ABC}が鋭角三角形    \therefore\ \ \bm{\nagamaru1\ 必要十分条件}$ \\\\\\
(8)\ \ $A\cup B=A$\ \raisebox{-.2zh}{$\mathop{{\Large \ruby{\scalebox{2}[1]{\,$\rightleftarrows$\,}}{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}}\limits_{\text{{\normalsize \textbf{\textcolor{cyan}{○}}}}}$}\ $A\cap B=B    \therefore\ \ \bm{\nagamaru1\ 必要十分条件}$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
(1)\ \ x^2+y^2+z^2=0\ \Longleftrightarrow\ x=y=z=0\ より,\ \Longrightarrow は明らかに成り立つ. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の証明:x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=0^2-2\cdot0=0 \\[1zh] (2)\ \ x^2+y^2+z^2=0\ \Longleftrightarrow\ x=y=z=0\ より,\ \Longrightarrow は明らかに成り立つ. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の反例:x=0,\ y=1,\ z=-\,1 \\[1zh] (3)\ \ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ x-y=0\ \ かつ\ \ y-z=0\ \ かつ\ \ z-x=0\ \Longleftrightarrow\ x=y=z \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ 2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ (x^2+2xy+y^2)+(y^2+2yz+z^2)+(z^2+2zx+x^2)=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ x+y=0\ \ かつ\ \ y+z=0\ \ かつ\ \ z+x=0\ \Longleftrightarrow\ x=y=z=0 \\[1zh] (4)\ \ \Longrightarrow の対偶「xとyがともに有理数\ \Longrightarrow\ (xy)^2\,が有理数」は真. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の反例:x=\ruizyoukon2,\ y=0 \\[1zh] (5)\ \ \Longrightarrow の対偶「x+yとx-yがともに有理数\ \Longrightarrow\ xが有理数またはyが有理数」を示す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x+y=\bunsuu pq,\ x-y=\bunsuu rs\ (p,\ q,\ r,\ s:整数,\ q\neqq0,\ s\neqq0)\ とする. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ このとき x=\bunsuu{ps+qr}{2qs}=(有理数),\ \ y=\bunsuu{ps-qr}{2qs}=(有理数) \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \Longleftarrow の反例:x=\ruizyoukon2,\ y=0 \\[1zh] (6)\ \ a^2+b^2=c^2\ \Longleftrightarrow\ \uwave{\angle\mathRM{C}=90\Deg}の直角三角形 \\[1zh] (7)\ \ 0\Deg<\theta<180\Deg のとき\ \ \begin{cases}
0\Deg<\theta<90\Deg & \Longleftrightarrow\ \cos\theta>0 \\[.2zh] \theta=90\Deg & \Longleftrightarrow\ \cos\theta=0 \\[.2zh] 90\Deg<\theta<180\Deg & \Longleftrightarrow\ \cos\theta<0 \end{cases}\ \ より \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ \cos A\cos B\cos C>0 \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ (\cos A,\ \cos B,\ \cos Cがすべて正)\ \ または\ \ (\cos A,\ \cos B,\ \cos Cの1つが正で2つが負) \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ 0\Deg<A,\ B,\ C<90\Deg\ \ または\ \ (2つの角が90\Deg 以上はありえない) \\[.2zh] \Longleftrightarrow\ 0\Deg<A,\ B,\ C<90\Deg\ \Longleftrightarrow\ \triangle\mathRM{ABC}が鋭角三角形