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x,\ yを実数とする.$\ \ \fbox{  }\ に次のいずれかを入れよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} \nagamaru1\ 「必要十分条件である」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」 \\[.2zh] \hspace{.5zw} \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」 \\\\
\hspace{.5zw} (1)\ \ $\zettaiti{x-6}>\zettaiti{2x-9}は,\ \ruizyoukon x=x-2であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\zettaiti x<1かつ\zettaiti y<1は,\ xy+1>x+yであるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $\zettaiti{x+y}=\zettaiti{x-y}は,\ x=y=0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti yは,\ x\geqq0かつy\geqq0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ $\zettaiti{x+y}>x+yは,\ xy<0であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ $\zettaiti x+\zettaiti y\leqq1は,\ x^2+y^2\leqq1であるための\ \fbox{  }$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (7)\ \ $\zettaiti x+\zettaiti y\leqq1は,\ \zettaiti{x+y}\leqq1\ \ 1変数の条件であるから,\ 普通に方程式・不等式を解けばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 絶対値は場合分けしてはずすのが基本だが,\ 本問は両辺を2乗すると場合分けせずに済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ 絶対値は2乗するとはずれるからである. \zettaiti X^2=X^2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 絶対値は常に0以上なので,\ \uwave{a\geqq0かつb\geqq0のとき}\ a>b\ \Longleftrightarrow\ a^2>b^2\ が使えるわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 一般に絶対値は2乗するとはずれるのであった. *a^2-b^2=(a+b)(a-b)を利用 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このうち\ \ruizyoukon x=x-2を満たすのは x=4 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 最初の変形が \Longleftrightarrow ではなく\Longrightarrow であることに注意してほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 常に\ruizyoukon x\geqq0だが,\ 常にx-2\geqq0ではないので,\ a=b\ \Longleftrightarrow\ a^2=b^2\ は成り立たない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 途中1つでも同値でない変形があると,\ \ruizyoukon x=x-2\ \Longleftrightarrow\ x=1,\ 4\ も成り立たなくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ \bm{x=1,\ 4をそれぞれ最初の式に代入して満たすかを確認した}わけである.
\phantom{(5)}\ \ \Longrightarrow の反例:x=-\,1,\ y=-\,1   \Longleftarrow の反例:x=2,\ y=-\,1 \\[.2zh] \phantom{(5)}\ \ 領域で考えてもよい.\ 斜線部分がx+y<0\ (y<-\,x)である. \\[.2zh] \phantom{(5)}\ \ また,\ 色塗り部分が\ xy<0\ \Longleftrightarrow\ (x>0\ かつ\ y<0)\ または\ (x<0\ かつ\ y>0)\ である. \\[1zh] (6),\ (7)\ \ 領域で考える.\ \zettaiti x+\zettaiti y\leqq1が斜線部分の正方形を表すことは覚えておくべきである. \\[.2zh] \phantom{(6),\ (7)}\ \ もう一方が色塗り部分.\