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条件$p,\ q$を満たすものの全体の集合をそれぞれ$P,\ Q$とする. \\[.5zh] \scalebox{0.95}[1]{$「p\Longrightarrow qが真」\ \Longleftrightarrow\ P\subset Q\ \Longleftrightarrow\ \kyouyaku Q\subset \kyouyaku P\ \Longleftrightarrow\ 「\,\textcolor{magenta}{\kyouyaku q}\Longrightarrow \textcolor{Purple}{\kyouyaku p}\ が真」$} \\\\
よって,\ \textbf{\textcolor{red}{元の命題の真偽と,\ その対偶の真偽は一致する.}} \\[.2zh] ゆえに,\ \textbf{\textcolor{magenta}{命題$\bm{p\Longrightarrow q}$の証明問題では,\ 代わりに対偶命題$\bm{\kyouyaku q\Longrightarrow\kyouyaku p}$を証明してもよい.}} \\[.2zh] なお,\ 命題$p\Longrightarrow q$が偽である場合,\ \textbf{\textcolor{Purple}{反例も命題$\bm{p\Longrightarrow q}$と対偶命題$\bm{\kyouyaku q\Longrightarrow\kyouyaku p}$で一致}}する. \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
P\subset Qであるとき,\ \kyouyaku Q\,(斜線部分)が\ \kyouyaku P\,(色塗り部分)に含まれる(\kyouyaku Q\subset\kyouyaku P). \\[.2zh] \bm{逆q\Longrightarrow pと裏\ \kyouyaku p\Longrightarrow\kyouyaku q\ も対偶の関係にあるから,\ 真偽が一致する.} \\[.2zh] 当然,\ p\Longrightarrow qと逆q\Longrightarrow pの真偽が一致するとは限らない(P\subset Q\ \Longleftrightarrow\ Q\subset Pは成り立たない). \\[1zh] 裏\ \kyouyaku p\Longrightarrow\kyouyaku q\ と,\ p\Longrightarrow qの否定は別物である. \\[.2zh] 「p\Longrightarrow q」は「pならば常にq」であるが,\ その否定は「(pならば常にq)でない」である. \\[.2zh] つまり,\ 「pなのにqでないもの(反例)が存在する」が「(pならば常にq)でない」である. \\[.2zh] この「(p\Longrightarrow q)の否定」が「pならば常に(qでない)\ (p\Longrightarrow\kyouyaku q\,)」と別物であることにも注意する. \\[1zh] p\Longrightarrow qの反例は,\ pなのにqでないもの,\ つまりpかつ\,\kyouyaku q\,を満たすものである. \\[.2zh] \kyouyaku q\Longrightarrow\kyouyaku p\,\,の反例は,\ \kyouyaku q\,なのに\,\,\kyouyaku p\,でないもの,\ つまり\,\kyouyaku q\,かつpを満たすものであるから一致する.
\hspace{.5zw}$x,\ yを実数とする.\ 次の命題の逆・裏・対偶を述べ,\ 真偽を調べよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ x=1\ \ かつ\ \ y=2 ならば x+y=3$ \\
$\bm{逆:x+y=3 ならば x=1\ \ かつ\ \ y=2}$ \\[.2zh] \ \textbf{偽} 反例:$\textcolor{red}{x=3,\ y=0}$ \\[1zh] $\bm{裏:x\neqq1\ \ または\ \ y\neqq2 ならば x+y\neqq3}$ \\[.2zh] \ \textcolor{red}{裏の対偶である逆が偽であるから} \textbf{偽} \\[1zh] $\bm{対偶:x+y\neqq3 ならば x\neqq1\ \ または\ \ y\neqq2}$ \\[.2zh] \ \textcolor{red}{対偶である元の命題が明らかに真であるから} \textbf{真}