当ページの内容は前ページの同値変形の暗記を前提としています。

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x,\ y$を実数とする.\ 条件$p,\ q$が同値であることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1) $p:「x>1\ \ かつ\ \ y>1」$ $q:「x+y>2\ \ かつ\ \ (x-1)(y-1)>0」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2) $p:「xy+1=x+y」$ $q:「x,\ yの少なくとも一方が1」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3) $p:「x^2+y^2=2(x+y-1)」$ $q:「x=y=1」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4) $p:「x=y=0」$ $q:「x^2-xy+y^2=0」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5) $p:「x>y」$ $q:「x^3>y^3」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6) $p:「x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0」$ $q:「x=y=z=0」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (7) $p:「x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0」$ $q:「x=y=z」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (8) $p:「x\geqq0」$ $q:「\ruizyoukon{x^2}=x」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (9) $p:「\zettaiti{x+y}=\zettaiti{x-y}」$ $q:「xy=0」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (\scalebox{0.6}[1]{10}) $p:「\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y」$ $q:「xy\geqq0」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (\scalebox{0.6}[1]{11}) $p:「\zettaiti{x+y}<\zettaiti x+\zettaiti y」$ $q:「xy<0」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (\scalebox{0.6}[1]{12}) $p:「xy<0」$ $q:「\bunsuu xy+\bunsuu yx<0」$ \\[.8zh] \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ \centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{同値変形演習}}}} \\\\[.5zh]  頻出の同値変形の問題演習を行う. \\[.2zh]  他分野でも頻繁に行うので,\ 単に必要十分条件の問題の演習とは思わないでほしい. \\\\\\  (1)\ \ $\bm{x>1\ \ かつ\ \ y>1}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x-1>0\ \ かつ\ \ y-1>0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{x>1\ \ かつ\ \ y>1}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x-1)+(y-1)>0\ \ かつ\ \ (x-1)(y-1)>0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{x>1\ \ かつ\ \ y>1}}\ \Longleftrightarrow\ \bm{x+y>2\ \ かつ\ \ (x-1)(y-1)>0}$ \\\\
\bm{X>0\ \ かつ\ \ Y>0\ \Longleftrightarrow\ X+Y>0\ \ かつ\ \ XY>0}\ を利用する. \\[.2zh] 注意すべきは,\ この同値性は\bm{右辺が0でなければ成り立たない}ことである. \\[.2zh] よって,\ 単純に\ X>1\ \ かつ\ \ Y>1\ \Longleftrightarrow\ X+Y>2\ \ かつ\ \ XY>1\ などとするのは誤りである. \\[.2zh] そこで,\ 一旦右辺が0になるように変形してから適用したわけである.\ X=x-1,\ Y=y-1. \\[.2zh] 実際の問題ではpとqが同値とは書いてないので,\ 同値と予想して同値変形してみる必要がある. \\[.2zh] 経験を重ね,\ 頻出のものは見た瞬間にたぶん同値だろうと思えるくらいになっていることが望ましい. \\[.2zh] 同値なのでp→q,\ q→pのどちら向きに変形していってもよいが,\ 本問はp→qが自然だろう.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(2)\ \ $\bm{xy+1=x+y}\ \Longleftrightarrow\ xy-x-y+1=0\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x-1)(y-1)=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{xy+1=x+y}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x-1=0\ \ または\ \ y-1=0}\ \Longleftrightarrow\ x=1\ \ または\ \ y=1$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{xy+1=x+y}}\ \Longleftrightarrow\ \bm{x,\ yの少なくとも一方が1}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
方程式・不等式では,\ \bm{一方の辺を0にすると本質が見えてくる}ことが多い. \\[.2zh] その後,\ \bm{因数分解}に気付き,\ さらに\bm{XY=0\ \Longleftrightarrow\ X=0\ \ または\ \ Y=0}\ を利用する. \\[.2zh] 本問ではp→qの流れが自然だが,\ 他分野ではq→pの流れで変形する必要が生じることもある. \\[.2zh] つまり,\ x,\ yの少なくとも一方が1と聞いて,\ xy-x-y+1=0が成り立つと思えねばならない.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(3)\ \ $\bm{x^2+y^2=2(x+y-1)}\ \Longleftrightarrow\ x^2-2x+y^2-2y+2=0$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{x^2+y^2=2(x+y-1)}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x-1)^2+(y-1)^2=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{x^2+y^2=2(x+y-1)}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x-1=0\ \ かつ\ \ y-1=0}\ \Longleftrightarrow\ \bm{x=y=1}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
2次式では,\ 因数分解できない場合は平方完成してみることが重要である. \\[.2zh] 本問は,\ \bm{xとyのそれぞれで平方完成する}ことができる. \\[.2zh] その後,\ \bm{X^2+Y^2=0\ \Longleftrightarrow\ X=0\ \ かつ\ \ Y=0}\ を利用する.\ X=x-1,\ Y=y-1.
(4)\ \ $\bm{x^2-xy+y^2=0}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\left(x-\bunsuu y2\right)^2+\bunsuu34y^2=0}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{x^2-xy+y^2=0}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x-\bunsuu y2=0\ \ かつ\ \ y=0}\ \Longleftrightarrow\ \bm{x=y=0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
因数分解できないので平方完成を考えるが,\ xyのせいでxとyのそれぞれでの平方完成ができない. \\[.2zh] そこで,\ \bm{1文字の式とみて平方完成する}.\ ここでは,\ xの2次式とみて平方完成した. \\[.2zh] その後,\ \bm{X^2+Y^2=0\ \Longleftrightarrow\ X=0\ \ かつ\ \ Y=0}\ を利用する.\ X=x-\bunsuu y2,\ Y=y.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(5)\ \ $\bm{x^3>y^3}$ \\[.2zh] $\Longleftrightarrow\ x^3-y^3>0\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x-y)(x^2+xy+y^2)>0}$ \\[.2zh] $\Longleftrightarrow$\ \scalebox{0.95}[1]{$\textcolor{red}{(x-y>0\ \ かつ\ \ x^2+xy+y^2>0)\ \ または\ \ (x-y<0\ \ かつ\ \ x^2+xy+y^2<0)}$} \\[.2zh]    $\Longleftrightarrow\ x>y\ \ かつ\ \ x=y=0でない\ \Longleftrightarrow\ \bm{x>y}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
因数分解後,\ \bm{XY>0\ \Longleftrightarrow\ (X>0\ かつ\ Y>0)\ または\ (X<0\ かつ\ Y<0)}\ を用いる. \\[.2zh] ここで,\ 常にx^2+xy+y^2=\left(x+\bunsuu y2\right)^2+\bunsuu34y^2\geqq0である(2乗の和なので). \\[.8zh] よって,\ x^2+xy+y^2<0を満たすx,\ yは存在しない. \\[.2zh] また,\ x^2+xy+y^2=0となるのは,\ x+\bunsuu y2=0\ かつ\ y=0,\ つまりx=y=0のときのみである. \\[.8zh] よって,\ 「x^2+xy+y^2>0\ \Longleftrightarrow\ x=y=0でない」である. \\[.2zh] x>yが成り立つならば自動的にx=y=0でないも成り立つから,\ 結局x>yのみで済む. \\[.2zh] x>y\ \Longleftrightarrow\ x^2>y^2\,は,\ x\geqq0かつy\geqq0のときに成り立つのであった. \\[.2zh] 一方,\ 何の前提条件もなく,\ 常に\ x>y\ \Longleftrightarrow\ x^3>y^3\,が成り立つことが示されたわけである.
(6)\ \ $\bm{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ 2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx=0$  {\small [$\textcolor{BrickRed}{両辺を2倍した}$]} \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ (x^2+2xy+y^2)+(y^2+2yz+z^2)+(z^2+2zx+x^2)=0$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x+y=0\ \ かつ\ \ y+z=0\ \ かつ\ \ z+x=0}$  {\small [$\textcolor{BrickRed}{普通の連立方程式}$]} \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \bm{x=y=z=0}$ \\\\
\betu\ \ $\bm{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\left(x+\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+\bunsuu34\left(y+\bunsuu13z\right)^2+\bunsuu23z^2=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x+\bunsuu{y+z}{2}=0\ \ かつ\ \ y+\bunsuu13z=0\ \ かつ\ \ z=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \bm{x=y=z=0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
因数分解できないので1文字の式とみて平方完成するのが自然な発想である(別解). \\[.2zh] 3文字あるので,\ まずxの式とみて平方完成し,\ その後さらにyの式とみて平方完成することになる. \\[.2zh] x^2+(y+z)x+y^2+yz+z^2=\left(x+\bunsuu{y+z}{2}\right)^2-\left(\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+y^2+yz+z^2 \\[1zh] \phantom{x^2+(y+z)x+y^2+yz+z^2}=\left(x+\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+\bunsuu34y^2+\bunsuu12yz+\bunsuu34z^2 \\[1zh] \phantom{x^2+(y+z)x+y^2+yz+z^2}=\left(x+\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+\bunsuu34\left(y+\bunsuu13z\right)^2-\bunsuu34\left(\bunsuu13z\right)^2+\bunsuu34z^2 \\[1zh] 後は,\ \bm{X^2+Y^2+Z^2=0\ \Longleftrightarrow\ X=0\ \ かつ\ \ Y=0\ \ かつ\ \ Z=0}\ を利用する. \\[.2zh] 実は,\ \bm{本問は超頻出であり,\ 本解のように同値変形するのが普通である.\ 必ず習得しておくこと.}
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(7)\ \ $\bm{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0$  {\small [$\textcolor{BrickRed}{両辺を2倍した}$]} \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x-y=0\ \ かつ\ \ y-z=0\ \ かつ\ \ z-x=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \bm{x=y=z}$ \\\\
\betu\ \ $\bm{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\left(x-\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+\bunsuu34\left(y-z\right)^2=0}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x-\bunsuu{y+z}{2}=0\ \ かつ\ \ y-z=0}$ \\[.2zh] $ \Longleftrightarrow\ \bm{x=y=z}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
x^2-(y+z)x+y^2-yz+z^2=\left(x-\bunsuu{y+z}{2}\right)^2-\left(\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+y^2-yz+z^2 \\[1zh] \phantom{x^2+(y+z)x+y^2+yz+z^2}=\left(x-\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+\bunsuu34y^2-\bunsuu32yz+\bunsuu34z^2 \\[1zh] \phantom{x^2+(y+z)x+y^2+yz+z^2}=\left(x-\bunsuu{y+z}{2}\right)^2+\bunsuu34(y-z)^2 \\[1zh] \end{array}}\right]$}} \\\\\\
(8)\ \ $\bm{\ruizyoukon{x^2}=x}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\zettaiti x=x}\ \Longleftrightarrow\ \bm{x\geqq0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
一般に,\ 2乗の根号をはずすと絶対値がつくのであった.\ 安易に\ruizyoukon{x^2}=xとしてはならない. \\[.2zh] その後,\ \bm{\zettaiti x=x\ \Longleftrightarrow\ x\geqq0}\ を利用する.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(9)\ \ $\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti{x-y}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{x+y=x-y\ \ または\ \ x+y=-\,(x-y)}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti{x-y}}\ }\Longleftrightarrow\ y=0\ \ または\ \ x=0\ \Longleftrightarrow\ \bm{xy=0}$ \\\\
\betu\ \ $\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti{x-y}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\zettaiti{x+y}^2=\zettaiti{x-y}^2}\ \Longleftrightarrow\ (x+y)^2=(x-y)^2$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti{x-y}}\ }\Longleftrightarrow\ x^2+2xy+y^2=x^2-2xy+y^2\ \Longleftrightarrow\ \bm{xy=0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
\bm{\zettaiti X=\zettaiti Y\ \Longleftrightarrow\ X=\pm\,Y}\ を利用する. \\[.2zh] さらに,\ \bm{xy=0\ \Longleftrightarrow\ x=0\ \ または\ \ y=0}\ も利用する. \\[.2zh] 別解は,\ \bm{2乗すると絶対値がはずれる}ことを利用したものである. \\[.2zh] つまり,\ \bm{\underline{X\geqq0かつY\geqq0のとき}\ \ X=Y\ \Longleftrightarrow\ X^2=Y^2}\ を利用する. \\[.2zh] 絶対値がついているならば常に0以上であるから,\ これを適用できるわけである.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(10)\ \ $\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\zettaiti{x+y}^2=(\zettaiti x+\zettaiti y)^2}$ \\[.2zh] \phantom{ (10)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ }\Longleftrightarrow\ (x+y)^2=\zettaiti x^2+2\zettaiti x\zettaiti y+\zettaiti{y}^2$ \\[.2zh] \phantom{ (10)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ }\Longleftrightarrow\ x^2+2xy+y^2=x^2+2\zettaiti{xy}+y^2$ \\[.2zh] \phantom{ (10)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ }\Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{xy=\zettaiti{xy}}\ \Longleftrightarrow\ \bm{xy\geqq0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
右辺は全体に絶対値がついているわけではないので,\ \zettaiti X=\zettaiti Y\ \Longleftrightarrow\ X=\pm\,Yは適用できない. \\[.2zh] 2乗によって絶対値をはずして整理した後,\ \bm{\zettaiti X=X\ \Longleftrightarrow\ X\geqq0}\ を利用する.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(11)\ \ $\bm{\zettaiti{x+y}<\zettaiti x+\zettaiti y}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\zettaiti{x+y}^2<(\zettaiti x+\zettaiti y)^2}$ \\[.2zh] \phantom{ (10)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ }\Longleftrightarrow\ (x+y)^2<\zettaiti x^2+2\zettaiti x\zettaiti y+\zettaiti{y}^2$ \\[.2zh] \phantom{ (10)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ }\Longleftrightarrow\ x^2+2xy+y^2<x^2+2\zettaiti{xy}+y^2$ \\[.2zh] \phantom{ (10)}\ \ $\phantom{\bm{\zettaiti{x+y}=\zettaiti x+\zettaiti y}\ }\Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{xy<\zettaiti{xy}}\ \Longleftrightarrow\ \bm{xy<0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
\bm{\underline{X\geqq0かつY\geqq0のとき}\ \ X<Y\ \Longleftrightarrow\ X^2<Y^2}\ と\ \bm{\zettaiti X>X\ \Longleftrightarrow\ X<0}\ を利用する.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
(12)\ \ $\bm{\bunsuu xy+\bunsuu yx<0}\ \Longleftrightarrow\ \bunsuu{x^2+y^2}{xy}<0\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{(x^2+y^2)xy<0}$ \\[.2zh] \phantom{ (12)}\ \ $\phantom{\bm{\bunsuu xy+\bunsuu yx<0}\ }\Longleftrightarrow\ $\scalebox{.95}[1]{$\textcolor{red}{(x^2+y^2>0\ \ かつ\ \ xy<0)\ \ または\ \ (x^2+y^2<0\ \ かつ\ \ xy>0)}$} \\[.2zh] \phantom{ (12)}\ \ $\phantom{\bm{\bunsuu xy+\bunsuu yx<0}\ }\Longleftrightarrow\ x=y=0でない\ \ かつ\ \ xy<0\ \Longleftrightarrow\ \bm{xy<0}$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
\bm{分数の和は通分してみる}のが同値変形の基本である. \\[.2zh] その後,\ \bm{\bunsuu XY<0\ \Longleftrightarrow\ XY<0}\ を利用する. (X=x^2+y^2,\ Y=xy) \\[.8zh] さらに,\ \bm{XY<0\ \Longleftrightarrow\ (X>0\ \ かつ\ \ Y<0)\ \ または\ \ (X<0\ \ かつ\ \ Y>0)}\ を利用する.