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2つの集合の共通部分と和集合,\ 補集合,\ ド・モルガンの法則}}}} \\\\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{共通部分と和集合}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{共通部分\ $\bm{A\cap B}$}} $\bm{\textcolor{red}{AかつB}}$   $\bm{\textcolor{ForestGreen}{A,\ Bの両方に属する要素全体の集合}}$ \\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{和集合 \ $\bm{A\cup B}$}} $\bm{\textcolor{red}{AまたはB}}$  $\bm{\textcolor{ForestGreen}{A,\ Bの\dot{少}\dot{な}\dot{く}\dot{と}\dot{も}\dot{一}\dot{方}に属する要素全体の集合}}$ \\\\
これらは,\ 複数の集合の関係や範囲を図式化した\textbf{\textcolor{blue}{ベン図}}で考えるのが基本である. \\\\
\bm{数学における「または」は,\ 日常語における「または」とは意味合いが異なる}ので注意を要する. \\[.2zh] 日常で「数学または英語を勉強せよ」と言われたとき,\ どちらか一方のみととらえるのが普通だろう. \\[.2zh] しかし,\ 数学の「または」は「少なくとも一方」であり,\ \bm{「一方のみ」に加えて「両方」も含まれる.} \\[.2zh] よって,\ 数学と英語を両方勉強したとしても,\ 数学的には指示に反したことにはならない. \\[.2zh] 数学で頻出する例も挙げておく.\ \ AB=0は,\ 「\,A=0\ または\ B=0\,」と同じことである. \\[.2zh] これには,\ 「\,Aのみ0\,」「\,Bのみ0\,」「\,AもBも0\,」がすべて含まれる. \\[1zh] ところで,\ 数学では以下のような表現が用いられる. \\[.2zh] \maru1\ \ 連立方程式a+b=3,\ a-b=1の解は a=2,\ b=1 \\[.2zh] \maru2\ \ 方程式(a-2)(b-1)=0の解は    \ a=2,\ b=1 \\[.2zh] 一見すると同じ解に見えるが,\ \maru1は「\,a=2\ \dot{か}\dot{つ}\ b=1\,」,\ \maru2は「\,a=2\ \dot{ま}\dot{た}\dot{は}\ b=1\,」である. \\[.2zh] このように,\ 数学のコンマ「,」は,\ 状況に応じて「かつ」と「または」の両方の意味で用いられる. \\[.2zh] 文脈で判断する必要があるので,\ 普段からコンマの意味を意識した学習を心がけなければならない. \\[.2zh] 一般に,\ 異なる文字の場合は「かつ」を意味することが多く,\ 普通はそう読み取る. \\[.2zh] よって,\ \maru1に関しては,\ この表現で通常は問題ない. \\[.2zh] 一方,\ \maru2では「\,a=2\ または\ b=1\,」と記述することが強く推奨される. \\[.2zh] なお,\ x=2,\ x=1のように同じ文字の場合,\ 必ず「または」である.\ 2かつ1はありえない.
全体集合と補集合}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{全体集合\ $\bm{U}$}} ある集合の部分集合のみ考えるときの元の集合.\ \ \textbf{U}niversal set. \\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{補集合\ $\bm{\overline A}$}}  全体集合$U$の要素のうち,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{A}$に属さない要素全体の集合.}} \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{補集合の性質}{ド・モルガンの法則}}(ベン図で成り立つことを確認)\ 10以下の自然数の集合を全体集合とし,\ 部分集合$A,\ B$を$A=\{1,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7\}$, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $B=\{2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 9\}$とするとき,\ 次の集合を求めよ. 10以下の自然数の集合を全体集合$U$とし,\ $部分集合をA,\ B$について, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(2)}\ \ $A\cap B=\{3,\ 8\},\ \overline A\cap B=\{7,\ 9\},\ \overline A\cap\overline B=\{1,\ 6,\ 10\}$とするとき,\ 次の集合を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(2)}\ \ 求めよ.
まずはベン図を作成する.\ このとき,\ \bm{重なっている部分(共通部分)から先に書き込んでいく.} \\[.2zh] 10個の要素をすべて書き込んだことを確認し,\ ベン図が完成する. \\[1zh] \maru1\ \ A以外全部   \maru2\ \ AかつB   \maru3\ \ AまたはB\ (AとB全部)   \maru4\ \ A以外かつB \\[1zh] \maru5\ \ AまたはB以外\ (AとB以外全部) \\[.2zh] \ \ ド・モルガンの法則より\ A\cup\overline B=\overline{\overline A\cap B}\ なので,\ \maru4の補集合と考えてもよい. \\[1zh] \maru6\ \ AかつB以外\ (\maru2の補集合)   \maru7\ \ AまたはB以外\ (\maru3の補集合) \\[1zh] \maru8\ \ A以外またはB以外だが,\ 「以外」が多くなるとややこしくなる. \\[.2zh] \ \ そこで,\ ド・モルガンの法則を利用し,\ 「以外」を1つにする.\ 結局,\ \maru6と一致する. \\[1zh] \maru9\ \ ド・モルガンの法則を利用すると,\ \maru7と一致する. \\[1zh] \maru{10}\ \ ド・モルガンの法則を利用すると,\ \maru3と一致する.