熱力学第一法則・気体のモル比熱・熱効率
内部エネルギーU[J] 物体を構成する原子・分子の運動エネルギーの総和.
内部エネルギーU[J] 気体の物質量n[mol]と絶対温度T[K]に比例する.
単原子分子理想気体 | 二原子分子理想気体
U = 3/2 nRT = 3/2 pV | U = 5/2 nRT = 5/2 pV
気体が外部にする仕事W_out[J]
W = (p-Vグラフにおける面積)
気体が膨張するときW>0, 気体が圧縮するときW<0
(図要素：面積塗りつぶし, V₁, V₂, W_out の矢印表示等／※TeXコマンド除去により図は消滅)
熱力学第一法則
気体に加えた熱量Q_inは, 内部エネルギーの変化ΔUと外部への仕事W_outに分配される.
Q_in = ΔU + W_out
定積モル比熱 C_v [J/(mol・K)]
定積変化において物質1 mol を1 K温度上昇させるのに必要な熱量.
C_v = Q / (nΔT) より Q = nC_vΔT
定積変化ではW_out = 0より Q_in = ΔU であるから ΔU = nC_vΔT
気体の内部エネルギーは温度でのみ決まり, 変化の過程によらない.
つまり, 変化の過程によらず常に ΔU = nC_vΔT が成立する.
定圧モル比熱 C_p [J/(mol・K)]
定圧変化において物質1 mol を1 K温度上昇させるのに必要な熱量.
C_p = Q / (nΔT) より Q = nC_pΔT
マイヤーの関係 C_p = C_v + R
単原子分子気体の定積モル比熱と定圧モル比熱
C_v = 3/2 R, C_p = 5/2 R
熱機関 熱を仕事に変える装置.
熱効率 吸収熱に対する全仕事の割合.
e = W_正味 / Q_in = (Q_in - Q_out) / Q_in = 1 - Q_out / Q_in (<1)
(図要素：高温熱源→装置→低温熱源, 正味の仕事W などの矢印図／TeX コマンド除去により図消滅)
[補足説明]
以上が気体の問題を解く際の基本事項である. 以下の補足事項も重要なので確認してほしい.
理想気体の状態方程式pV = nRTより, pVとnRTは常に交換可能である.
実際の問題では, 指定されたほうの文字に変換して答えることになる.
仕事Wは, 定圧変化の場合に限り, 長方形の面積なのでpΔVで直接求めることができる.
それ以外の場合は直接求めることは難しいので, 熱力学第一法則を利用して求めることになる.
なお, Δ は差を表す記号である. 例えば, 図においては ΔV = V₂ - V₁ である.
熱力学第一法則を Q = ΔU + W と丸暗記してはならない. 文字の設定次第で式が変わるからである.
例えば, W = (外部からされた仕事) と設定すると, Q = ΔU - W になる.
重要なのは, この法則の意味合いをイメージとして理解しておくことである.
要はエネルギー保存則であり, 得た熱が内部エネルギーの増加と外部への仕事に使われるのである.
もし, 外部から仕事されていれば, その分と得た熱の合計が内部エネルギーの増加になる.
また, 熱を放出しながら外部へ仕事したとすると, その合計の分内部エネルギーは減少するだろう.
モル比熱C_v, C_pについては, QとΔUの違いに特に注意を要する.
Q = n C_v ΔT (定積変化のみ), Q = n C_p ΔT (定圧変化のみ), 何変化でも ΔU = n C_v ΔT
マイヤーの関係は公式を暗記してもあまり役立たない. 導き方をおさえておくこと.
定圧変化では
Q_in = n C_p ΔT
ΔU = n C_v ΔT
W_out = p ΔV
である.
さらに, 状態方程式より pΔV = nRΔT である.
これらを熱力学第一法則 Q_in = ΔU + W_out に代入すると
n C_p ΔT = n C_v ΔT + nRΔT
∴ 両辺を nΔT で割ると C_p = C_v + R (マイヤーの関係)
単原子分子かそうでないかの違いは定積モル比熱C_vが 3/2 R であるか否かの違いである.
問題文に単原子分子と書いてある場合は, U = n C_v T = 3/2 nRT としてよい.
一方, 書いてない場合は U = 3/2 nRT としてはならず, U = n C_v T とするしかない.
熱効率も特に注意を要する概念である.
分母Q_in は吸収熱のみで放出熱は考慮しない.
分子W_正味 は正味の仕事であり, W_正味 = (外部にした仕事) - (外部からされた仕事) である.
仮に外部に30の仕事をして外部から10の仕事をされていれば, 外部にした仕事は実質20である.
熱機関は吸収熱以上の仕事をすることはできない(放出熱を0にすることはできない).
よって, 熱効率は必ず1より小さくなる.
当然, 熱機関は熱効率が1に近い(Q_outが0に近い)ほうが熱の無駄使いが少なくてよい.
しかし, 現在のガソリン車の標準は0.4程度である.
入試過去問を調べてみたところ, 熱効率は0.1～0.4くらいの値となるものがほとんどであった.
