断熱自由膨張と気体の混合

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体積$4V$の容器Aと体積$2V$の容器Bがコックのついた体積を無視できる細い管で \\[.2zh] \hspace{.5zw}つながれている.\ 最初コックは閉められており,\ 容器Aに単原子分子理想気体$n$\,[mol]\, \\[.2zh] \hspace{.5zw}が絶対温度$T$の状態で入っている.\ 容器B内は真空である.\ 気体定数を$R$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 全体を断熱材で覆ってからコックを開いた.\ 十分時間が経過したときの気体の圧 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 力$P$と容器A,\ B内の気体の物質量$n_{\text A},\ n_{\text B}$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 続いて,\ 断熱材をはずし,\ 容器Aを絶対温度$T$,\ 容器Bを絶対温度$3T$の恒温槽 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ につけた.\ 十分時間が経過したときの圧力$P’$と容器A,\ B内の気体の物質量${n_{\text A}}’,$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ ${n_{\text B}}’$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 続いて,\ コックを閉じ,\ 容器Bの恒温槽を絶対温度$4T$にした.\ その後容器A,\ B \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ を恒温槽から取り出し,\ 全体を断熱材で覆ってからコックを開いた.\ 十分時間が \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 経過したときの圧力$P”$,\ 絶対温度$T”$を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ \centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{断熱自由膨張と気体の混合}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textcolor{magenta}{断熱自由膨張}であるから,\ 十分時間が経過したときの絶対温度は$T$である. \\[.4zh] \phantom{ (1)}\ \ 気体の状態方程式は $\textcolor{red}{P(4V+2V)=nRT}$    $\therefore\ \ \bm{P=\bunsuu{nRT}{6V}}$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{圧力と絶対温度が同じなら物質量は体積に比例する}から  断熱状態で気体が真空へ拡散する変化を\bm{断熱自由膨張}という.\ 断熱なので,\ 当然\bm{Q=0}である. \\[.2zh] さて,\ 通常気体の体積が増加するとき,\ 気体は外部に対して仕事をする. \\[.2zh] しかし,\ \bm{真空への拡散の場合,\ 気体は外部に対して仕事をしない(W_{\text{out}}=0).} \\[.2zh] 外部(真空)から全く圧力を受けておらず,\ 外部へ仕事をしなくても体積が増加できるのである. \\[.2zh] Q=W=0であるから,\ 熱力学第一法則\ Q_{\text{in}}=\Delta U+W_{\text{out}}\ より,\ \Delta U=nC_v\Delta T=0となる. \\[.2zh] よって\,\Delta T=0であり,\ \bm{断熱自由膨張において絶対温度Tは変化しない.} \\[.2zh] これは,\ 通常の断熱変化で成り立つポアソンの式TV^{\gamma-1}=(一定)\,が成り立たないことを意味する. \\[.2zh] もしポアソンの式が成り立つならば,\ Vが増加するときTは減少するはずだからである. \\[.2zh] ポアソンの式は,\ 準静的過程(熱平衡を保ちながらゆっくりと変化する過程)で成り立つ式である. \\[.2zh] 自由膨張のように急激に変化する場合には,\ 断熱変化であっても成り立たない. \\[1zh] 気体の混合の問題における根幹事項は次の2点である. \\[.2zh]  \maru1\ \ \bm{混合の前後で物質量の総和は保存する.} \\[.2zh]  \maru2\ \ \bm{コックが開いているとき,\ 両容器内の気体の圧力が等しくなる.} \\[1zh] この2点に注意して容器全体で気体の状態方程式を立式すると,\ 気体の圧力Pを求められる. \\[.2zh] 容器\text{A,\ B}の体積が2:1なので,\ 中の気体の物質量比も2:1になる. \\[.2zh] 容器\text A内の気体の状態方程式P\cdot4V=n_{\text A}RTにP=\bunsuu{nRT}{6V}\,を代入して\,n_{\text A}\,を求めてもよい. コックが開いてるとき,\ \bm{両容器内の気体の絶対温度が等しくなるとは限らない}ことに注意する. \\[.2zh] 冬に部屋のドアが空いていたとしても,\ 暖房がある部屋の方が暖かいことを体感できるはずである. \\[.2zh] 容器\text Aと容器\text Bで絶対温度が違うので,\ 全体の状態方程式は作成できない. \\[.2zh] \bm{各容器内の気体の状態方程式を立式し,\ 物質量保存の式と連立する}ことになる. \\[.2zh] 同じような積の形の連立方程式は,\ 一方の式の両辺を他方の式の両辺で割ると速い. \\[.2zh] {内部エネルギーの和は保存する}から  全体で考えると当然Q=0,\ また,\ 体積が変わらないのでW=0である. \\[.2zh] よって,\ 熱力学第一法則より\,\Delta U=0である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{断熱状態で気体を混合するとき,\ 混合の前後で内部エネルギーの総和は変化しない.} \\[.2zh] これを立式すると,\ 混合後の絶対温度が容易に求められる.\ 圧力も状態方程式により直ちに求まる. \\[.2zh] コックを閉じているから,\ 4Tにしても容器\text{A,\ B}内の物質量は\,\bunsuu67n,\ \bunsuu17n\,のままである.
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高校物理:熱力学
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