気体の熱サイクルと熱効率①(熱力学分野最重要問題)

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n$\,[mol]\,の単原子分子理想気体を右図のようなサイクル \\[.2zh] \hspace{.5zw}で状態変化させた.\ 状態Aの気体の温度を$T_0$,\ 気体定数 \\[.2zh] \hspace{.5zw}を$R$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 各過程における内部エネルギーの変化$\Delta U$,\ 気体が \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 外部にした仕事$W_{\text{out}}$,\ 気体が吸収した熱量$Q_{\text{in}}$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $n,\ R,\ T_0$を用いて表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ このサイクルの熱効率$e$を求め,\ 分数で答えよ. 気体の熱サイクルと熱効率 以下の解説は,\ 前項の内容が一通り頭に入っていることを前提としている. \\[1zh] (1)\ \ 物質量(モル)が一定であるから,\ 常にボイル・シャルルの法則が成立する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ ボイル・シャルルの法則を用いて状態\text{B,\ C,\ D}の温度を求められる. \phantom{(1)}\ \ \bm{\uwave{単原子分子}}理想気体とあるから,\ 何変化でも\bm{\Delta U=\bunsuu32nR\Delta T}であることを利用できる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 変化量なので,\ \bm{(後)-(前)}であることに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 温度が下がる\text{C\,→\,D,\ D\,→\,A}の過程では,\ \Delta Uは負となる. \\[.2zh] 定積変化}であるから W_{\text A\,→\,\text B}=W_{\text C\,→\,\text D}=0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{定圧変化}では\bm{W=p\Delta V}として求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 図形的には,\ V軸との間で囲まれた長方形の面積であることにも留意しておく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n,\ R,\ T_0\,で表すため,\ \bm{状態\textbf Aにおける状態方程式P_0V_0=nRT_0}を用いて変換する. \\[.2zh] 体積が増加するとき外部にした仕事W_{\textbf{out}}\,は正,\ 体積が減少するときW_{\textbf{out}}\,は負}となる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \Delta UとW_{\text{out}}\,が既知なので,\ Q_{\text{in}}\,は\ \bm{熱力学第一法則\ Q_{\text{in}}=\Delta U+W_{\text{out}}}\ によって求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\uwave{単原子分子}}なので,\ 定圧変化の\text{B\,→\,CとD\,→\,A}に限り,\ 直接\bm{Q=\bunsuu52nR\Delta T}で求めてもよい. \\[.8zh] (2)\ \ 熱効率の定義が\ \bm{e=\bunsuu{(正味の仕事)}{(\dot{実}\dot{際}\dot{に}吸収した熱量)}}\ であることに注意して求める. \\[1.3zh] \phantom{(1)}\ \ \text{C\,→\,DとD\,→\,A}では実際には放出しているので,\ これを分母に加えてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 正味の仕事は,\ \bm{(実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言い換えると,\ \bm{外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせる}ということである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 各過程のW_{\text{out}}\,を求める必要がない場合,\ \bm{W_{\textbf{all}}\,はサイクル内の面積として求める}と速い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 最後,\ e<1となっていることを確認する.
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高校物理:熱力学
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