気体の熱サイクルと熱効率③

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n$\,[mol]\,の理想気体を右図のようなサイクルで状態変化させた. \\[.2zh] \hspace{.5zw}B\,→\,Cは断熱変化である.\ 状態A,\ B,\ Cの絶対温度を$T_{\text A},$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$T_{\text B},\ T_{\text C}$,\ 定積モル比熱を$C_v$,\ 定圧モル比熱を$C_p$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 各過程における内部エネルギーの変化$\Delta U$,\ 気体が \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 外部にした仕事$W_{\text{out}}$,\ 気体が吸収した熱量$Q_{\text{in}}$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $n,\ T_{\text A},\ T_{\text B},\ T_{\text C},\ C_v,\ C_p$を用いて表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ このサイクルの熱効率$e$を$\gamma\left(=\bunsuu{C_p}{C_v}\right),\ T_{\text A},\ T_{\text B},\ T_{\text C}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ を用いて表せ. \\[-16zh] }(3)\ \ 単原子分子理想気体の断熱変化では$PV^{\gamma}$が一定であることが知られている. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ このときの熱効率$e$を求め,\ \%\,(整数値)で答えよ.\ 必要なら$2^{\frac53}\kinzi\bunsuu{16}{5}$を用いよ. \\ (1)\ \ まず,\ \bm{何変化でも\,\Delta U=nC_v\Delta T}であることを利用し,\ 直ちに\,\Delta Uを求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 単原子分子とは書いてないので,\ \Delta U=\bunsuu32nR\Delta Tとしてはならないことに注意する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 次にQ_{\text{in}}\,を考える.\ 断熱変化の\text{B\,→\,C}では当然Q=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{定積変化ではQ=nC_v\Delta T,\ 定圧変化ではQ=nC_p\Delta T}となることを利用する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 最後にW_{\text{out}}\,を考える.\ \bm{定積変化}であるからW_{\text A\,→\,\text B}=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Delta UとQ_{\text{in}}\,が既知なので,\ 残りは\ \bm{熱力学第一法則\ Q_{\text{in}}=\Delta U+W_{\text{out}}}\ によって求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 定圧変化の\text{C\,→\,A}は,\ W=P\Delta V=nR\Delta Tを用いてもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 答えにRは使えないので,\ \bm{マイヤーの関係式C_p-C_v=R}\,で変換する必要が生じる. \\[1zh] (2)\ \ 熱効率の定義が\ \bm{e=\bunsuu{(正味の仕事)}{(\dot{実}\dot{際}\dot{に}吸収した熱量)}}\ であることに注意して求める. \\[1.3zh] \phantom{(1)}\ \ \text{C\,→\,A}では実際には放出しているので,\ これを分母に加えてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 正味の仕事は,\ \bm{(実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言い換えると,\ \bm{外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせる}ということである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ W_{\text{all}}\,は一見複雑になるが,\ 一旦展開してC_v\,とC_p\,で整理し直すと割と簡潔になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ +\,C_p(T_{\text A}-T_{\text C})ではなく-\,C_p(T_{\text C}-T_{\text A})としたのは,\ T_{\text C}>T_{\text A}\,だからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分数を分割すると,\ eが\,\gamma,\ T_{\text A},\ T_{\text B},\ T_{\text C}\,で簡潔に表される. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ T_{\text B}>T_{\text C}>T_{\text A}\,より\,\gamma\cdot\bunsuu{T_{\text C}-T_{\text A}}{T_{\text B}-T_{\text A}}>0であるから,\ e<1である. \\\\ (3)\ \ 熱効率eの\,\bunsuu{T_{\text C}-T_{\text A}}{T_{\text B}-T_{\text A}}\,は絶対温度の比である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ T_{\text A},\ T_{\text B},\ T_{\text C}\,の具体的な値はわからなくても,\ 比さえわかればeの値が求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ 定圧変化\text{C\,→\,A}においてシャルルの法則を用いるとT_{\text C}\,とT_{\text A}\,の比を求められる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ T_{\text B}\,を求めるには,\ 断熱変化\text{B\,→\,C}において\bm{ポアソンの式PV^{\gamma}=(一定)}を利用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 高校物理では,\ ポアソンの式を使うべき場合は問題で与えられる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \uwave{単原子分子}では\bm{C_p=\bunsuu52R,\ C_v=\bunsuu32R}であるから,\ \gamma=\bunsuu{C_p}{C_v}=\bunsuu53\ である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ P_{\text B}\,が求まるので,\ さらにボイル・シャルルの法則を用いるとT_{\text B}\,とT_{\text A}\,の比を求められる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ ポアソンの式にはTとVを用いた表現も存在し,\ 問題でこちらが与えられる場合もある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 状態方程式PV=nRTによって容易に変換できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ PV^{\gamma}=(一定)にP=\bunsuu{nRT}{V}を代入すると PV^{\gamma}=\bunsuu{nRT}{V}\cdot V^{\gamma}=nRTV^{\gamma-1}=(一定) \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{TV^{\gamma-1}=(一定)}である.\ これを用いると直接T_{\text B}\,とT_{\text A}\,の比を求められる. \\[.2zh] 最後に絶対温度の大小とPVグラフの関係を確認しておく. \\[.2zh] 等温ならばボイルの法則PV=(一定)が成り立つ. \\[.2zh] よって,\ PV図において等温の曲線は反比例のグラフとなる. \\[.2zh] また,\ 定圧変化ではシャルルの法則\,\bunsuu{V}{T}=(一定)が成り立つ. \\[.6zh] よって,\ Vが大きいほどTが大きくなる. \\[.2zh] ゆえに,\ 原点から離れる曲線ほど高温の曲線になる. \\[.2zh] 本問の場合,\ T_{\text B}>T_{\text C}>T_{\text A}\,となることがわかる. \\[1zh] さらに,\ C_p-C_v=R>0より,\ \gamma=\bunsuu{C_p}{C_v}>1である. \\[.6zh] よって,\ 断熱曲線PV^{\gamma}=(一定)は,\ 等温曲線PV=(一定)よりも急になる.
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高校物理:熱力学
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