球形容器内の気体分子運動論

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半径$r$の球形容器に質量$m$の分子が$N$個入っている.\ 分子1個が速度$v$,\ 入射角$θ$で 球面と完全弾性衝突したとする.\ 分子1個の衝突で球面が受ける力積の大きさは$$ である.\ この分子は時間$t$の間に\ \ 回だけ球面と衝突するから,\ 球面がこの分子 から受ける時間$t$の間の平均の力の大きさは$ f=$である. よって,\ 球面が$N$個 の分子から受ける力の大きさは,\ 全分子の速さの2乗平均を${v²}$とすると$F=$ である.\ ゆえに,\ 球の体積を$V$とすると球面が受ける圧力は$P=$である.\ これ を理想気体の状態方程式と比較すると,\ アボガドロ定数$N_{ A}$を用いて分子1個の平均 の運動エネルギーが 力積と運動量の関係}より,\ 中心向きを正とすると分子が球面から受ける力積$I$は $I=mvcosθ-(-mvcosθ})=2mvcosθ$} $ 球面が分子から受ける力積の大きさは {2mvcosθ}$} 分子は時間$t$で$vt$進み,\ 2$rcosθ$進むごとに球面と1回衝突するから 球面が時間$t$の間に分子1個から受ける力積は $N$個の分子から受ける力の大きさは 全体の流れに加えて最終的な結論も立方体の場合と同じである. まず,\ {分子1個の1回の面との衝突}について考える. 力積と運動量はベクトル量なので向きに注意を要する. 衝突の前後で面に水平方向の成分は変化なし,\ 垂直方向の成分は向きが逆になる. 完全弾性衝突であるから,\ 大きさは同じである. {(分子が面から受けた力積)=(衝突後の分子の運動量)-(衝突前の分子の運動量)} 分子は面から大きさ2mvcosθの力積を受けるとき,\ 面も分子から同じ大きさの力積を受ける. ,\ 次に,\ {分子1個の時間tの間の面との衝突}について考える. {,\ }2rcosθ進むにつき1回衝突することに注意して時間tの衝突回数を求める. {,\ }そして,\ 次の計算で時間tの間に面が分子1個から受ける力積が求められる. {,\ }{(1回の衝突で受ける力積)(時間tの間の衝突回数)} {,\ }後は,\ {(力積)=(平均の力)(時間)}\ の関係から平均の力を求めることができる. {面がN個の分子から受ける力}について考える. 分子ごとに速さが異なるので平均とると,\ 分子1個から受ける力の平均は\ {m{v²{r}\ である. これをN倍すればよい. {(圧力)=(力)(面積)}\ で求める.\ さらに,\ 無理矢理43π r³を作り出して体積Vで表す. アボガドロ定数N_{ A}とは,\ 粒子1mol}あたりN_{ A}個を意味する. つまり\ n[mol}]={N[個]}{N_{ A}\ [個/mol}]}\ であり,\ これを用いて変形する.
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高校物理:熱力学
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