理想気体の状態方程式 PV=nRT

理想気体  ボイルの法則やシャルルの法則が厳密に成り立つ仮想的な気体. 物質量   粒子$6.0210^{23}$個の集まりを1molという. % アボガドロ定数 $N_{ A}=6.0210^{23}$/mol アボガドロの法則  温度・圧力一定のとき,\ 気体の体積は物質量(分子数)に比例する. %(同体積中には同じ数の分子が含まれる). 気体の状態方程式 ボイル・シャルルの法則より ${PV}{T}=(一定)$ アボガドロの法則より,\ $n$[mol]の気体では体積が$n$倍になる. よって,\ 比例定数を${R$(気体定数)とすると ${PV}{T}=nR}$ 1molの気体の体積は標準状態($0℃ 化学ではR=8.3110³\ [Pa$・$L/(mol$・$K)}]を用いるが,\ 物理では8.31\ [J/(mol$・$K)}]を用いる. n(物質量)が一定ならばnRも一定になるので\ {PV}{T}=(一定)\ となる. 要は,\ {物質量が変化しなければボイル・シャルルの法則,\ 変化するならば状態方程式}を用いればよい. 密閉されていない体積$V$の容器が絶対温度$T$の室内におかれている.\ この容器を$3T$ になるまで温めたとき,\ 容器内の気体の物質量は最初と比べて何倍になるか. 温める前の容器内の物質量を$n$,\ 温めた後の容器内の物質量を$n’$とする. また,\ 大気圧を$P$,\ 気体定数を$R$とする. 温める前の容器内の気体の状態方程式は $P V=n R T}  $ 温めた後の容器内の気体の状態方程式は 密閉されていない場合,\ 容器内の物質量(mol})が一定とは限らない. よって,\ ボイル・シャルルの法則は適用できず,\ 状態方程式を立式することになる. ボイル・シャルルの法則は\ {PV}{T}={P’V’}{T’}\ とすることで変化の前後を一発で関連づけられた. しかし,\ 状態方程式の場合,\ {変化前と変化後のものをそれぞれ立式した後連立する}必要がある. このとき,\ 未知のものはとにかく自分で文字を設定してでも立式する. また,\ {密閉されていない容器内の圧力は常に外部の圧力(大気圧)と等しい}ことにも注意する. なお,\ 状態方程式の連立では2式の両辺を割るのが基本である. 体積$V$の容器Aと体積$2V$の容器Bがコックがついた細い管で接続されている.\ 容 器Aに圧力$P$,\ 絶対温度$T$の理想気体をいれた.\ 容器Bは真空である. コックを開いて全体の絶対温度を$5T$にしたときの圧力$P’$を求めよ. さらに,\ 容器Aの絶対温度を$4T$,\ 容器Bの絶対温度を$3T$にしたときの圧力$P”$ を求めよ. ボイル・シャルルの法則より 最初の全物質量を$n$,\ 最後の容器A内の物質量を$n_{ A}$,\ 容器B内の物質量を$n_{ B}$とする. { }最初の容器A内の気体の状態方程式は $P V=n R T}$ { }最後の容器A内の気体の状態方程式は $P” V=n_{ A} R 4T}$ { }最後の容器B内の気体の状態方程式は $P” 2V=n_{ B} R 3T}$ { }全物質量は保存するから 初期状態と比較すると圧力,\ 体積,\ 温度いずれもが変化する.\ 一方,\ 気体の物質量は変化しない. よって,\ ボイル・シャルルの法則を適用して求めることができる. 最終状態は容器 Aと容器 Bで異なる.\ また,\ 物質量も変化する. よって,\ 別々に状態方程式を立式する.\ なお,\ 接続されている容器{A}と容器{B}内の圧力は等しい. さらに,\ 初期状態の状態方程式も立式する.\ の状態方程式でもよいがわずかに面倒である. Rは定数であるから,\ 未知なのはP”,\ n,\ n_{ A},\ n_{ B}の4文字である. {物質量保存の式も加える}と4つの式ができ,\ 連立すれば求まる. 各状態方程式をn=の形に変形して最後の式に代入するとよい.
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