右図のように,\ 上部に穴が空いた円筒容器が水平な床に固定されている.
容器内には$n$\,[mol]\,の単原子分子理想気体がなめらかに動くばね付きの
ピストンによって封入されている.\ ピストンの質量を$m$,\ 断面積を$S$,\
ばねが自然長のときのピストンの円筒容器底部から高さを$h$,\ 大気圧を
$P_0$,\ ばね定数を$k$,\ 気体定数を$R$,\ 重力加速度を$g$とする. \\[-9zh]
最初,\ ばねが自然長の状態でピストンが静止していた.\ このときの気体の圧力$P_1$
\ \ と絶対温度$T_1$を求めよ.
(2)\ \ 次に,\ ピストンの円筒容器底部からの高さが$2h$になるまで気体を加熱した.
\ \ このときの気体の圧力$P_2$と絶対温度$T_2$を求めよ.
(3)\ \ (1)から(2)の状態に至る過程で気体が外部にした仕事$W$を求めよ.
(4)\ \ (1)から(2)の状態に至る過程で内部エネルギーの変化量$\Delta U$を求めよ.
(5)\ \ (1)から(2)の状態に至る過程で気体に与えられた熱量$Q$を求めよ. \\
{ばね付きピストンで封じられた気体 \\
(1)\ \ ピストンにはたらく力のつりあいは 状態方程式は
状態方程式は
(1)\ \ 円筒容器には穴が空いているから,\ ピストンの上部の圧力は常にP_0\,である.
\ \ なめらかに動くピストンが静止しているということは,\ 力がつりあっているということである.
\ \ 圧力ではなく力のつりあいであることに注意して立式する.\ (力)=(圧力)×(面積)\,である.
\ \ また,\ ピストンは自然長のばねからは力を受けないことにも注意する.
\ \ 絶対温度は状態方程式によって求められる.
\ \ このとき,\ P_1=P_0+mg}{S}\,ではなく,\ P_1S=P_0S+mg\,を代入すると速い.
(2)\ \ ばねは自然長からh縮んだ状態であるから,\ ピストンに対して鉛直下向きにkhの力を与える.
\ \ 物質量が一定であるから,\ T_2\,はボイル・シャルルの法則を用いて求めることもできる. ただし,\ P_1,\ P_2,\ T_1\,を代入する羽目になるので面倒である.
(3)\ \ ピストンの底部からの高さが$x$のときの力のつりあいは
$W$は右図の台形の面積と等しいから
ピストン内の気体は大気圧とピストンとばねに対して仕事をする}から
ばね付きピストン問題の肝は,\ 仕事Wを求めることができるかどうかである.
仕事WはPV図における面積}なので,\ PV図を描くことを考える.
そのために,\ ピストンが動くときのPとVの関係を立式する.}
しかし,\ いきなりPとVの関係を立式するのはわかりづらいので,\ 先にPとxの関係を立式する.
その後で,\ V=Sxの関係を用いてxをVに変換すればよい.
複雑な式になるが,\ PとV以外は定数である.\ つまり,\ PはVの1次関数(直線)である}とわかる.
V=Shを代入するとP=P_0+mg}{S}\,となり,\,P_1と一致することが確かめられる.\ P_2についても同様.
結局,\ 台形の面積}を求めることに帰着する.\ なお,\ (台形の面積)=12(上底+下底)(高さ)である.
実は,\ エネルギー保存則}を用いると速い(別解).
大気圧がされた仕事は,\ (力)×(距離)=P_0S× hである.
ピストンはh上昇しているから,\ 位置エネルギーmghが蓄えられる.
ばねはh縮むから,\ 弾性エネルギー\,12kh^2\,が蓄えられる.
単原子分子理想気体とあるから,\ \Delta U=32nR\Delta Tを利用できる.
(5)\ \ 熱力学第一法則より
(5)のQは気体に与えられた熱量Q_{in,\ (3)のWは気体が外部にした仕事W_{out\,のことである.
よって,\ 熱力学第一法則\ Q_{in=\Delta U+W_{out\ によって求められる.
