ばね付きピストンで封じられた気体

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右図のように,\ 上部に穴が空いた円筒容器が水平な床に固定されている. \\[.2zh] \hspace{.5zw}容器内には$n$\,[mol]\,の単原子分子理想気体がなめらかに動くばね付きの \\[.2zh] \hspace{.5zw}ピストンによって封入されている.\ ピストンの質量を$m$,\ 断面積を$S$,\ \\[.2zh] \hspace{.5zw}ばねが自然長のときのピストンの円筒容器底部から高さを$h$,\ 大気圧を \\[.2zh] \hspace{.5zw}$P_0$,\ ばね定数を$k$,\ 気体定数を$R$,\ 重力加速度を$g$とする. \\[-9zh] 最初,\ ばねが自然長の状態でピストンが静止していた.\ このときの気体の圧力$P_1$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ と絶対温度$T_1$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 次に,\ ピストンの円筒容器底部からの高さが$2h$になるまで気体を加熱した. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ このときの気体の圧力$P_2$と絶対温度$T_2$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ (1)から(2)の状態に至る過程で気体が外部にした仕事$W$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ (1)から(2)の状態に至る過程で内部エネルギーの変化量$\Delta U$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(5)\ \ (1)から(2)の状態に至る過程で気体に与えられた熱量$Q$を求めよ. \\ {ばね付きピストンで封じられた気体}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ ピストンにはたらく力のつりあいは  状態方程式は  \phantom{ (1)}\ \ 状態方程式は (1)\ \ 円筒容器には穴が空いているから,\ ピストンの上部の圧力は常にP_0\,である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なめらかに動くピストンが静止しているということは,\ 力がつりあっているということである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 圧力ではなく力のつりあいであることに注意して立式する.\ (力)=(圧力)\times(面積)\,である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ ピストンは自然長のばねからは力を受けないことにも注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 絶対温度は状態方程式によって求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ P_1=P_0+\bunsuu{mg}{S}\,ではなく,\ P_1S=P_0S+mg\,を代入すると速い. \\[1.3zh] (2)\ \ ばねは自然長からh縮んだ状態であるから,\ ピストンに対して鉛直下向きにkhの力を与える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 物質量が一定であるから,\ T_2\,はボイル・シャルルの法則を用いて求めることもできる.  ただし,\ P_1,\ P_2,\ T_1\,を代入する羽目になるので面倒である.  (3)\ \ ピストンの底部からの高さが$x$のときの力のつりあいは \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $W$は右図の台形の面積と等しいから \\[.5zh]  \betu\ \ \textcolor{red}{ピストン内の気体は大気圧とピストンとばねに対して仕事をする}から \\[.5zh] ばね付きピストン問題の肝は,\ 仕事Wを求めることができるかどうかである. \\[.2zh] \bm{仕事WはPV図における面積}なので,\ PV図を描くことを考える. \\[.2zh] そのために,\ \bm{ピストンが動くときのPとVの関係を立式する.} \\[.2zh] しかし,\ いきなりPとVの関係を立式するのはわかりづらいので,\ 先にPとxの関係を立式する. \\[.2zh] その後で,\ V=Sxの関係を用いてxをVに変換すればよい. \\[.2zh] 複雑な式になるが,\ PとV以外は定数である.\ つまり,\ \bm{PはVの1次関数(直線)である}とわかる. \\[.2zh] V=Shを代入するとP=P_0+\bunsuu{mg}{S}\,となり,\,P_1と一致することが確かめられる.\ P_2についても同様. \\[.6zh] 結局,\ \bm{台形の面積}を求めることに帰着する.\ なお,\ (台形の面積)=\bunsuu12(上底+下底)(高さ)である. \\[1zh] 実は,\ \bm{エネルギー保存則}を用いると速い(別解). \\[.2zh] 大気圧がされた仕事は,\ (力)\times(距離)=P_0S\times hである. \\[.2zh] ピストンはh上昇しているから,\ 位置エネルギーmghが蓄えられる. \\[.2zh] ばねはh縮むから,\ 弾性エネルギー\,\bunsuu12kh^2\,が蓄えられる. 単原子分子理想気体とあるから,\ \Delta U=\bunsuu32nR\Delta Tを利用できる.  (5)\ \ 熱力学第一法則より (5)のQは気体に与えられた熱量Q_{\text{in}},\ (3)のWは気体が外部にした仕事W_{\text{out}}\,のことである. \\[.2zh] よって,\ \bm{熱力学第一法則\ Q_{\text{in}}=\Delta U+W_{\text{out}}}\ によって求められる.
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高校物理:熱力学
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