気体の熱サイクルと熱効率②

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単原子分子理想気体を右図のようなサイクルで状態変化させた. \\[.2zh] \hspace{.5zw}B\,→\,Cは等温変化で,\ この間に気体に$Q$の熱を与えた. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 各過程における内部エネルギーの変化$\Delta U$,\ 気体が \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 外部にした仕事$W_{\text{out}}$,\ 気体が吸収した熱量$Q_{\text{in}}$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $P_0,\ V_0,\ Q$を用いて表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ このサイクルの熱効率$e$を求めよ. \\[-10zh] 簡単に求まるところから埋めていけばよいが,\ とりあえず\Delta Uから考えることにする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\uwave{単原子分子}}理想気体とあるから,\ 何変化でも\bm{\Delta U=\bunsuu32nR\Delta T}であることを利用できる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 等温変化の\text{B\,→\,C}は,\ \Delta T=0より\Delta U=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{A\,→\,B,\ C\,→\,A}はP_0,\ V_0\,で答える必要があるので,\ 状態方程式PV=nRTを用いて変換する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 定積変化の\text{A\,→\,B}ではVが一定であるから,\ \Delta U=\bunsuu32nR\Delta T=\bm{\bunsuu32\Delta P\cdot V}と変換できる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 変化量なので\bm{(後)-(前)}であることに注意すると \Delta U_{\text A\,→\,\text B}=\bunsuu32(3P_0-P_0)V=3P_0V_0 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 定圧変化の\text{C\,→\,A}ではPが一定であるから,\ \Delta U=\bunsuu32nR\Delta T=\bm{\bunsuu32P\Delta V}と変換できる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \Delta U_{\text C\,→\,\text A}=\bunsuu32P_0(V_0-3V_0)=-\,3P_0V_0 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 一周すると温度は元に戻るから,\ この間の\bm{内部エネルギーの変化量\Delta U_{一周}\,は0}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Delta U_{\text A\,→\,\text B}と\Delta U_{\text B\,→\,\text C}が既知なので,\ 残りの\Delta U_{\text C\,→\,\text A}はこれを利用して求めることもできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり \Delta U_{一周}=\Delta U_{\text A\,→\,\text B}+\Delta U_{\text B\,→\,\text C}+\Delta U_{\text C\,→\,\text A}=3P_0V_0+0+\Delta U_{\text C\,→\,\text A}=0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって \Delta U_{\text C\,→\,\text A}=-\,3P_0V_0 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 以下のように温度を経由して求めることもできるが,\ 結局P,\ Vに変換するので遠回りになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 状態\text{A}の温度をT_{\text A}=T_0\,とする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 体積一定であるから,\ ボイル・シャルルの法則より \bunsuu{P_0}{T_{\text{A}}}=\bunsuu{3P_0}{T_{\text{B}}}   \therefore\ \ T_{\text{B}}=3T_0 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \Delta U_{\text{A\,→\,B}}=\bunsuu32nR(T_{\text B}-T_{\text A})=\bunsuu32nR(3T_0-T_0)=3nRT_0 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 状態\text Aでの状態方程式P_0V_0=nRT_0より 3nRT_0=3P_0V_0 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 次にW_{\text{out}}\,を考える.\ まず,\ \bm{定積変化}であるから,\ W_{\text A\,→\,\text B}=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等温変化\text{B\,→\,C}のW_{\text{out}}は,\ PV=(一定)(反比例)のグラフとV軸間の面積である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを直接求めるには数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の積分が必要になるので物理では問われない.\ 一旦後回しにする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{定圧変化}では\bm{W=p\Delta V}として求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ W_{\text C\,→\,\text A}=p(V_{\text A}-V_{\text C})=P_0(V_0-3V_0)=-\,2P_0V_0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 図形的にはV軸との間で囲まれた長方形の面積である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ \bm{体積が減少するときW_{\textbf{out}}\,は負}となることに注意を要する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 残りは\ \bm{熱力学第一法則\ Q_{\text{in}}=\Delta U+W_{\text{out}}}\ によって求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{B\,→\,C}において\Delta U=0であり,\ また問題にQ_{\text{B\,→\,C}}=Qとあるから,\ W_{\text{B\,→\,C}}=Qである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\uwave{単原子分子}}なので,\ 定圧変化\text{C\,→\,A}に限り,\ \bm{Q=\bunsuu52nR\Delta T=\bunsuu52P\Delta V}で求めてもよい. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ Q_{\text C\,→\,\text A}=\bunsuu52P_0(V_{\text A}-V_{\text C})=\bunsuu52P_0(V_0-3V_0)=-\,5P_0V_0 \\\\ (2)\ \ 熱効率の定義が\ \bm{e=\bunsuu{(正味の仕事)}{(\dot{実}\dot{際}\dot{に}吸収した熱量)}}\ であることに注意して求める. \\[1.3zh] \phantom{(1)}\ \ \text{C\,→\,A}では実際には放出しているので,\ これを分母に加えてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 正味の仕事は,\ \bm{(実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言い換えると,\ \bm{外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせる}ということである.
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高校物理:熱力学
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