単原子分子理想気体を右図のようなサイクルで状態変化させた.
B\,→\,Cは等温変化で,\ この間に気体に$Q$の熱を与えた.
(1)\ \ 各過程における内部エネルギーの変化$\Delta U$,\ 気体が
\ \ 外部にした仕事$W_{out$,\ 気体が吸収した熱量$Q_{in$を
\ \ $P_0,\ V_0,\ Q$を用いて表せ.
(2)\ \ このサイクルの熱効率$e$を求めよ. \\[-10zh]
簡単に求まるところから埋めていけばよいが,\ とりあえず\Delta Uから考えることにする.
\ \ \uwave{単原子分子理想気体とあるから,\ 何変化でも\Delta U=32nR\Delta T}であることを利用できる.
\ \ 等温変化のB\,→\,C}は,\ \Delta T=0より\Delta U=0である.
\ \ A\,→\,B,\ C\,→\,A}はP_0,\ V_0\,で答える必要があるので,\ 状態方程式PV=nRTを用いて変換する.
\ \ 定積変化のA\,→\,B}ではVが一定であるから,\ \Delta U=32nR\Delta T=32\Delta P･ V}と変換できる.
\ \ 変化量なので(後)-(前)}であることに注意すると \Delta U_{ A\,→\, B}=32(3P_0-P_0)V=3P_0V_0
\ \ 定圧変化のC\,→\,A}ではPが一定であるから,\ \Delta U=32nR\Delta T=32P\Delta V}と変換できる.
\ \ \Delta U_{ C\,→\, A}=32P_0(V_0-3V_0)=-\,3P_0V_0
\ \ 一周すると温度は元に戻るから,\ この間の内部エネルギーの変化量\Delta U_{一周}\,は0}である.
\ \ \Delta U_{ A\,→\, B}と\Delta U_{ B\,→\, C}が既知なので,\ 残りの\Delta U_{ C\,→\, A}はこれを利用して求めることもできる.
\ \ つまり \Delta U_{一周}=\Delta U_{ A\,→\, B}+\Delta U_{ B\,→\, C}+\Delta U_{ C\,→\, A}=3P_0V_0+0+\Delta U_{ C\,→\, A}=0
\ \ よって \Delta U_{ C\,→\, A}=-\,3P_0V_0
\ \ 以下のように温度を経由して求めることもできるが,\ 結局P,\ Vに変換するので遠回りになる.
\ \ 状態A}の温度をT_{ A}=T_0\,とする.
\ \ 体積一定であるから,\ ボイル・シャルルの法則より P_0}{T_{A=3P_0}{T_{B ∴\ \ T_{B=3T_0
\ \ \Delta U_{A\,→\,B=32nR(T_{ B}-T_{ A})=32nR(3T_0-T_0)=3nRT_0
\ \ 状態 Aでの状態方程式P_0V_0=nRT_0より 3nRT_0=3P_0V_0
\ \ 次にW_{out\,を考える.\ まず,\ 定積変化}であるから,\ W_{ A\,→\, B}=0である.
\ \ 等温変化B\,→\,C}のW_{outは,\ PV=(一定)(反比例)のグラフとV軸間の面積である.
\ \ これを直接求めるには数III}の積分が必要になるので物理では問われない.\ 一旦後回しにする.
\ \ 定圧変化}ではW=p\Delta V}として求められる.
\ \ W_{ C\,→\, A}=p(V_{ A}-V_{ C})=P_0(V_0-3V_0)=-\,2P_0V_0
\ \ 図形的にはV軸との間で囲まれた長方形の面積である.
\ \ ただし,\ 体積が減少するときW_{out\,は負}となることに注意を要する.
\ \ 残りは\ 熱力学第一法則\ Q_{in=\Delta U+W_{out\ によって求められる.
\ \ B\,→\,C}において\Delta U=0であり,\ また問題にQ_{B\,→\,C=Qとあるから,\ W_{B\,→\,C=Qである.
\ \ \uwave{単原子分子なので,\ 定圧変化C\,→\,A}に限り,\ Q=52nR\Delta T=52P\Delta V}で求めてもよい.
\ \ Q_{ C\,→\, A}=52P_0(V_{ A}-V_{ C})=52P_0(V_0-3V_0)=-\,5P_0V_0
(2)\ \ 熱効率の定義が\ e=(正味の仕事)}{(\dot{実}\dot{際}\dot{に}吸収した熱量)\ であることに注意して求める.
\ \ C\,→\,A}では実際には放出しているので,\ これを分母に加えてはならない.
\ \ 正味の仕事は,\ (実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)}である.
\ \ 言い換えると,\ 外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせる}ということである.
