単原子分子理想気体を右図のようなサイクルで状態変化させた.
B→Cは等温変化で, この間に気体にQの熱を与えた.
(1) 各過程における内部エネルギーの変化ΔU, 気体が
外部にした仕事W₍ₒᵤₜ₎, 気体が吸収した熱量Q₍ᵢₙ₎を
P₀, V₀, Qを用いて表せ.
(2) このサイクルの熱効率eを求めよ.
気体の熱サイクルと熱効率2
(1)
| | ΔU | W₍ₒᵤₜ₎ | Q₍ᵢₙ₎ |
| A→B | 3P₀V₀ | 0 | 3P₀V₀ |
| B→C | 0 | Q | Q |
| C→A | -3P₀V₀ | -2P₀V₀ | -5P₀V₀ |
(2)
e=(W₍ₐₗₗ₎)/(Q₍ᵢₙ₎)=(W₍A→B₎+W₍B→C₎+W₍C→A₎)/(Q₍A→B₎+Q₍B→C₎)=(0+Q-2P₀V₀)/(3P₀V₀+Q)=(Q-2P₀V₀)/(Q+3P₀V₀)
(1) 簡単に求まるところから埋めていけばよいが, とりあえずΔUから考えることにする.
単原子分子理想気体とあるから, 何変化でもΔU=3/2nRΔTであることを利用できる.
等温変化のB→Cは, ΔT=0よりΔU=0である.
A→B, C→AはP₀, V₀で答える必要があるので, 状態方程式PV=nRTを用いて変換する.
定積変化のA→BではVが一定であるから, ΔU=3/2nRΔT=3/2ΔP·Vと変換できる.
変化量なので(後)-(前)であることに注意すると ΔU₍A→B₎=3/2(3P₀-P₀)V=3P₀V₀
定圧変化のC→AではPが一定であるから, ΔU=3/2nRΔT=3/2PΔVと変換できる.
ΔU₍C→A₎=3/2P₀(V₀-3V₀)=-3P₀V₀
一周すると温度は元に戻るから, この間の内部エネルギーの変化量ΔU₍一周₎は0である.
ΔU₍A→B₎とΔU₍B→C₎が既知なので, 残りのΔU₍C→A₎はこれを利用して求めることもできる.
つまり ΔU₍一周₎=ΔU₍A→B₎+ΔU₍B→C₎+ΔU₍C→A₎=3P₀V₀+0+ΔU₍C→A₎=0
よって ΔU₍C→A₎=-3P₀V₀
以下のように温度を経由して求めることもできるが, 結局P, Vに変換するので遠回りになる.
状態Aの温度をT₍A₎=T₀とする.
体積一定であるから, ボイル・シャルルの法則より P₀/T₍A₎=3P₀/T₍B₎ ∴ T₍B₎=3T₀
ΔU₍A→B₎=3/2nR(T₍B₎-T₍A₎)=3/2nR(3T₀-T₀)=3nRT₀
状態Aでの状態方程式P₀V₀=nRT₀より 3nRT₀=3P₀V₀
次にW₍ₒᵤₜ₎を考える. まず, 定積変化であるから, W₍A→B₎=0である.
等温変化B→CのW₍ₒᵤₜ₎は, PV=(一定)(反比例)のグラフとV軸間の面積である.
これを直接求めるには数IIIの積分が必要になるので物理では問われない. 一旦後回しにする.
定圧変化ではW=pΔVとして求められる.
W₍C→A₎=p(V₍A₎-V₍C₎)=P₀(V₀-3V₀)=-2P₀V₀
図形的にはV軸との間で囲まれた長方形の面積である.
ただし, 体積が減少するときW₍ₒᵤₜ₎は負となることに注意を要する.
残りは 熱力学第一法則 Q₍ᵢₙ₎=ΔU+W₍ₒᵤₜ₎ によって求められる.
B→CにおいてΔU=0であり, また問題にQ₍B→C₎=Qとあるから, W₍B→C₎=Qである.
単原子分子なので, 定圧変化C→Aに限り, Q=5/2nRΔT=5/2PΔVで求めてもよい.
Q₍C→A₎=5/2P₀(V₍A₎-V₍C₎)=5/2P₀(V₀-3V₀)=-5P₀V₀
(2) 熱効率の定義が e=(正味の仕事)/(実際に吸収した熱量) であることに注意して求める.
C→Aでは実際には放出しているので, これを分母に加えてはならない.
正味の仕事は, (実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)である.
言い換えると, 外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせるということである.
