n [mol] の理想気体を右図のようなサイクルで状態変化させた.
B→Cは断熱変化である. 状態A, B, Cの絶対温度をT_A, T_B, T_C,
定積モル比熱をC_v, 定圧モル比熱をC_pとする.
(1) 各過程における内部エネルギーの変化ΔU, 気体が
外部にした仕事W_out, 気体が吸収した熱量Q_inを
n, T_A, T_B, T_C, C_v, C_pを用いて表せ.
(2) このサイクルの熱効率eをγ(=C_p/C_v), T_A, T_B, T_C
を用いて表せ.
(3) 単原子分子理想気体の断熱変化ではPV^γが一定であることが知られている.
このときの熱効率eを求め, %(整数値)で答えよ. 必要なら2^(5/3)≈16/5を用いよ.
断熱自由膨張と気体の混合
(1) 断熱自由膨張であるから, 十分時間が経過したときの絶対温度はTである.
気体の状態方程式は
P(4V+2V)=nRT
∴ P = nRT/(6V)
圧力と絶対温度が同じなら物質量は体積に比例するから
n_A = 2/3 n , n_B = 1/3 n
[図の説明部分は元のまま保持。ただしTeXコマンドは除去済み／図枠は省略]
断熱状態で気体が真空へ拡散する変化を断熱自由膨張という. 断熱なので, 当然Q=0である.
さて, 通常気体の体積が増加するとき, 気体は外部に対して仕事をする.
しかし, 真空への拡散の場合, 気体は外部に対して仕事をしない(W_out=0).
外部(真空)から全く圧力を受けておらず, 外部へ仕事をしなくても体積が増加できるのである.
Q=W=0であるから, 熱力学第一法則 Q_in = ΔU + W_out より, ΔU = nC_vΔT = 0 となる.
よって ΔT = 0 であり, 断熱自由膨張において絶対温度Tは変化しない.
これは, 通常の断熱変化で成り立つポアソンの式 T V^(γ−1) = (一定) が成り立たないことを意味する.
もしポアソンの式が成り立つならば, Vが増加するときTは減少するはずだからである.
ポアソンの式は, 準静的過程(熱平衡を保ちながらゆっくりと変化する過程)で成り立つ式である.
自由膨張のように急激に変化する場合には, 断熱変化であっても成り立たない.
気体の混合の問題における根幹事項は次の2点である.
混合の前後で物質量の総和は保存する.
コックが開いているとき, 両容器内の気体の圧力が等しくなる.
この2点に注意して容器全体で気体の状態方程式を立式すると, 気体の圧力Pを求められる.
容器A, Bの体積が2:1なので, 中の気体の物質量比も2:1になる.
容器A内の気体の状態方程式 P·4V = n_A R T に P = nRT/(6V) を代入して n_A を求めてもよい.
(2)
容器A, B内の気体の状態方程式は
P’·4V = n_A’ R T
P’·2V = n_B’ R·3T
物質量は保存するから
n_A’ + n_B’ = n
∴ n_A’ = 6/7 n , n_B’ = 1/7 n
また
P’ = (n_A’ R T)/(4V) = 3nRT/(14V)
コックが開いてるとき, 両容器内の気体の絶対温度が等しくなるとは限らないことに注意する.
冬に部屋のドアが空いていたとしても, 暖房がある部屋の方が暖かいことを体感できるはずである.
容器Aと容器Bで絶対温度が違うので, 全体の状態方程式は作成できない.
各容器内の気体の状態方程式を立式し, 物質量保存の式と連立することになる.
同じような積の形の連立方程式は, 一方の式の両辺を他方の式の両辺で割ると速い.
(P’·4V)/(P’·2V) = (n_A’ R T)/(n_B’ R·3T)
より
2 = n_A’/(3 n_B’)
よって
n_B’ = (1/6) n_A’
(3)
内部エネルギーの和は保存するから
(3/2)·(6/7 nR)·T + (3/2)·(1/7 nR)·4T = (3/2)·nR·T”
∴ T” = (10/7) T
気体の状態方程式より
P”(4V+2V) = nR·(10/7)T
∴ P” = 5nRT / (21V)
[以下の図の説明部分は内容保持のため文字のみ残し、描画命令は除去]
容器Aは4V, 温度T, 物質量6/7 n
容器Bは2V, 温度4T, 物質量1/7 n
コック閉後に断熱で再混合すると, 最終温度T” = 10/7 T, 圧力P” = 5nRT/(21V)
全体で考えると当然Q=0, また, 体積が変わらないのでW=0である.
よって, 熱力学第一法則より ΔU = 0 である.
つまり, 断熱状態で気体を混合するとき, 混合の前後で内部エネルギーの総和は変化しない.
これを立式すると, 混合後の絶対温度が容易に求められる. 圧力も状態方程式により直ちに求まる.
コックを閉じているから, 4Tにしても容器A, B内の物質量は 6/7 n, 1/7 n のままである.
