半径rの球形容器に質量mの分子がN個入っている. 分子1個が速度v, 入射角θで球面と完全弾性衝突したとする. 分子1個の衝突で球面が受ける力積の大きさは (1) である. この分子は時間tの間に (2) 回だけ球面と衝突するから, 球面がこの分子から受ける時間tの間の平均の力の大きさは f̄ = (3) である. よって, 球面がN個の分子から受ける力の大きさは, 全分子の速さの2乗平均を v²̄ とすると F = (4) である. ゆえに, 球の体積をVとすると球面が受ける圧力は P = (5) である. これを理想気体の状態方程式と比較すると, アボガドロ定数 N_A を用いて分子1個の平均の運動エネルギーが (1/2)m v²̄ = (6) と表せる.
(図)
球形容器内の気体分子運動論
(図)
(1) 力積と運動量の関係より, 中心向きを正とすると分子が球面から受ける力積Iは
I = m v cosθ − (−m v cosθ) = 2 m v cosθ
∴ 球面が分子から受ける力積の大きさは 2 m v cosθ
(2) 分子は時間tで v t 進み, 2 r cosθ 進むごとに球面と1回衝突するから v t/(2 r cosθ)
(3) 球面が時間tの間に分子1個から受ける力積は
2 m v cosθ × v t/(2 r cosθ) = (m v² / r)t
∴ f̄ t = (m v² / r)t より f̄ = m v²/r
(4) N個の分子から受ける力の大きさは
F = N · (m v²̄ / r) = (N m v²̄)/r
(5) P = F/S = ((N m v²̄)/r) / (4π r²) = (N m v²̄)/(3 · (4/3)π r³) = (N m v²̄)/(3V)
(6) PV = (1/3) N m v²̄ を PV = nRT と比較すると
(1/3) N m v²̄ = nRT
∴ n = N/N_A より
(1/2) m v²̄ = (3/2)(n/N)RT = (3/2)(R/N_A)T
[解説]
全体の流れに加えて最終的な結論も立方体の場合と同じである.
(1) まず, 分子1個の1回の面との衝突について考える.
力積と運動量はベクトル量なので向きに注意を要する.
衝突の前後で面に水平方向の成分は変化なし, 垂直方向の成分は向きが逆になる.
完全弾性衝突であるから, 大きさは同じである.
(分子が面から受けた力積) = (衝突後の分子の運動量) − (衝突前の分子の運動量)
分子は面から大きさ 2 m v cosθ の力積を受けるとき, 面も分子から同じ大きさの力積を受ける.
(2),(3) 次に, 分子1個の時間tの間の面との衝突について考える.
2 r cosθ 進むにつき1回衝突することに注意して時間tの衝突回数を求める.
そして,
(1回の衝突で受ける力積) × (時間tの間の衝突回数)
で時間tの間に面が分子1個から受ける力積が求められる.
後は (力積) = (平均の力) × (時間) の関係から平均の力を求めることができる.
(4) 面がN個の分子から受ける力について考える.
分子ごとに速さが異なるので平均とると, 分子1個から受ける力の平均は m v²̄ / r である.
これをN倍すればよい.
(5) (圧力) = (力) ÷ (面積) で求める. さらに, (4/3)π r^3 を作り出して体積Vで表す.
(6) アボガドロ定数 N_A とは, 粒子1 mol あたり N_A 個を意味する. つまり n[mol] = N[個] / N_A[個/mol] であり, これを用いて変形する.
