次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$
等差数列型・等比数列型・階差数列型・調和数列型
最も基本的な次の3パターンは,\ 見抜くことさえできれば普通の数列の問題である.
}{等差数列型} a_{n+1}-a_n=d &a隣り合う項の差が一定d)
\比数列型} a_{n+1}=r}a_n} &隣り合う項の比が一定r)
階差数列型} a_{n+1}-a_n=f(n) &隣り合う項の差がnの式)
加えて,\ 出題頻度は低いが,\ 調和数列型\ がある.
調和数列とは,\ 逆数が等差数列となる数列である.
${調和数列型} {1}{a_{n+1-{1}{a_n}=d} ({隣り合う項の逆数の差が一定d)}$
これは,\ $1}{a_n}=b_n$\ とおくと${等差数列型}\ b_{n+1-b_n}=d$\ に帰着する.
とかく厄介なのは,\ 次の形で出くわした場合に気付きにくいことである.
${調和数列型} a_{n+1}a_n-da_{n+1}+da_n=0 (分母を払った形)$
この形を見かけたときは,\ ${両辺をa_{n+1}a_nで割って分数形に直す.$
-2を移項すると,\ {等差数列型の漸化式\ a_{n+1}-a_n=d}\ であることがわかる.
等差数列型であることさえ認識できれば,\ 後は等差数列の一般項を求める問題と考えればよい.
等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)d\ に初項aと公差dを代入する.
さて,\ {漸化式は,\ 式変形ではなく,\ 式の意味を考えてa_nを求める}必要がある.
a_{n+1}-a_n=2\ を変形して何とかしようとする学生が多いが無意味である.
漸化式\ a_{n+1}-a_n=2\ から,\ {「a_nは公差2の等差数列」という意味を読み取る.}
その後は,\ {等差数列の一般項の問題としてa_nを求める}のである.
元の漸化式をいくら変形してもa_n=2n+1は出てこないので注意してほしい.
a_nを移項すると,\ {等比数列型\ a_{n+1}=ra_n}\ であることがわかる.
そして,\ {「a_nは公比-1の等比数列」という意味を読み取る.}
後は,\ {等比数列の一般項の問題としてa_nを求める}.\ 公式は{a_n=ar^{n-1であった.
単にa_{n+1}+a_n=0を変形しているだけでは,\ 一般項a_nは永遠に求まらない.
-2n+3を移項すると,\ {階差数列型\ a_{n+1}-a_n=(nの式)}\ であることがわかる.
そして,\ {「a_nは階差数列が2n-3である数列」という意味を読み取る.}
後は,\ {階差数列の問題としてa_nを求める.} {n2\ のときa_n=a₁+n-1}b_k}
こうして求まった式に試しに\ n=1\ を代入してみると\ a₁=1\ となり,\ 問題の\ a₁=1\ と矛盾しない.
よって,\ n=1\ の場合もまとめて答えることができる.
元の漸化式を変形しているだけでは,\ 一般項a_nは永遠に求まらない.
問題の漸化式を見て{調和数列型}であることに気付かなければ厳しい.
{背理法で\ a_n0\ を示す.}a_{n+1}=0\ を仮定したとき,\ 漸化式よりa_n=0\ となる.
a_{n+1}=0a_n=0\ なのだから,\ a_n=0a_{n-1}=0\ である.
これを繰り返すことでa₁=0\ が導かれるが,\ 問題の\ a₁=3\ と矛盾する.
0\ が確認されれば,\ {a_{n+1}a_n\ で両辺を割る.}
これくらいの問題ならば,\ いちいち\ {1}{a_n}=b_n\ と置換せずに求めたい.
最後,\ {1}{a_n}=- n2+56の逆数を\ a_n=-2n+65とする間違いが多いので注意.
