n次式型の漸化式 an+1=pan+(n次式)

次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$ 発想は自然だが,\ 最終的には{n回階差数列型を解く羽目になる.} 1次式程度なら問題ないが,\ 2次以上となると非常に面倒になるので推奨されない. 特殊解型b_{n+1}=pb_n+qを解くと b_n=(b₁-α) p^{n-1}+α (α\ :特殊解) よって a_{n+1}-a_n=(b₁-α) p^{n-1}+α  [階差数列型] 特殊解型をa_{n+1}=pa_n+(定数)と考えると,\ 特殊解型とn次式型は同種の漸化式である. 以下のような構造を理解しておいてほしい. 2次式の漸化式の階差を1回とると1次式の漸化式a_{n+1}=pa_n+qn+rとなる. 1次式の漸化式の階差を1回とると定数の漸化式a_{n+1}=pa_n+q(特殊解型)となる. 定数の漸化式の階差を1回とるとa_{n+1}=pa_n(等比数列型)となる. }等比数列型の最終形を作っておき,\ その形になるよう定数を定める. 何次式であれ,\ {一気に等比数列型に帰着}する. n次式型は問題で誘導される場合も多く,\ 通常この解法に誘導される. $$[${n}$回階差をとる:高次だと非常に面倒] 特殊解型の特性方程式\ α=2α+3\ より,\ 特殊解は\ α=-3である. 特殊解型を解くと,\ 階差数列型に帰着する. 階差数列がb_nである数列a_nの一般項は n2のときa_n=a₁+n-1}b_k ここで,\ Σ}r^k(所詮は等比数列の和)を計算する必要が生じるが,\ 正確にできない人が意外に多い. n-1}2^{k-1}=2^0+2^1++2^{n-2}\ より,\ {初項1,\ 公比2,\ 項数n-1の等比数列の和}である. 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ {a(r^n-1)}{r-1}\ を利用して求める. 2次式のは,\ 2回階差数列型を解く羽目になり,\ 面倒なので省略する. 係数比較して一気に等比数列型に帰着させる:高次では強力]
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