隣接3項間型の漸化式 an+2+pan+1+qan=0

次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$ $  a₁=1,a₂=3,a_{n+2}-2a_{n+1}-8a_n=0$ $  a₁=2,a₂=7,a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$ $  a₁=1,a₂=5,a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$ {隣接3項間型}${特性方程式\ x²+px+q=0}$}\ を解く. この特性方程式の解の種類により,\ 大きく2パターンに分類される. 基本的には,\ 2つの異なる特殊解} ${α,\ β}$} が求まり, {2つの等比数列型{等比数列型の2式をそれぞれ解くと 階差数列型]$ ただし,\ $α=1$の場合も差を計算して$a_{n+1}$を消去する上の方法のほうが楽である. 隣接3項間型は超頻出の漸化式である.\ また,\ 誘導なしで解けなければならない. よって,\ 特性方程式の作り方や等比数列型の最終形の暗記が必要である. なぜ\ a_{n+2}=x²,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1\ として特殊解を求めるとうまくいくのだろうか. 漸化式を解くには,\ 何とかして上のような等比数列型に変形できればよい. 等比数列型の最終形の式を展開し,\ 逆からさかのぼる. 展開して整理すると,\ いずれの式も\ {a_{n+2}-(α+β)a_{n+1}+αβ a_n=0}\ となる. \ ここで,\ 解と係数の関係より,\ α,\ β\ は\ x²+px+q=0\ の2解である. この方程式は,\ 元の漸化式において\ a_{n+2}=x²,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1\ とした式と一致する. 上級者は以下の場合の対応も確認しておいてほしい. a_{n+2}-2a_{n+1}-8a_n=2のように=0でない場合,\ 階差をとると=0の型に帰着する. a_{n+2}-2a_{n+1}-8a_n=2nのように=(1次式)の場合,\ 2回階差をとると=0の型に帰着する. これらは,\ n次式型の扱いと同様の発想である. が階差数列型であることに着目すると,\ がなくても求められる. ただし,\ 解法にとの統一性がない上,\ 場合分けも必要になる. a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0\ より,\ 特性方程式は{x²-6x+9=0}である. (x-3)²=0\ より {x=3\ (重解)} 重解の場合は1つしか式を作れないので,\ この式だけでa_nを求める必要がある. そのためには,\ {指数型\ a_{n+1}=pa_n+r^n}\ とみなして解けばよい. p=rの指数型は,\ {両辺をr^{n+1}で割ると等差数列型に帰着}するのであった. \
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