直線や円による平面の分割(領域の個数の漸化式)

平面上に,\ どの2本も互いに平行でなく,\ どの3本も1点で交わることがないよ うに$n$本の直線を引くとき,\ 平面は何個の領域に分割されるか. 平面上に,\ どの2個も互いに2点で交わり,\ どの3個も1点で交わることがない ように$n$個の円を書くとき,\ 平面は何個の領域に分割されるか. 直線や円による平面の分割と漸化式$ $n$本の直線によって,\ 領域が$a_n$個に分割されているとする. { }$n+1$本目の直線を引くと,\ $n$本の直線によって$n+1$個の線分に分割される. { }これに応じて領域は$n+1$個増えるから $a_{n+1}=a_n+n+1}$   また $a₁=2$ いきなり問われると手を付けづらいが,\ 一度経験して要点を押さえてしまえば容易である. とりあえず,\ 小さいnで具体的に考えて様子を探ってみよう. 図のように,\ ℓ₁,\ ℓ₂,\ ℓ₃と直線が増えるにつれ,\ 領域の個数は2,\ 4,\ 7と変化していく. さらに直線を増やしていくと,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ 16,となることがわかる. よって,\ 領域の個数は階差数列が2,\ 3,\ 4,\ 5,であるような数列をなすと推測できる. しかし,\ これはあくまでも推測にすぎず,\ この先も永遠に同じ規則であるとは限らない. そこで,\ {領域の個数をa_nとおき,\ a_{n+1}との関係をnの式で表す(漸化式を作成する).} このように文字nを用いて一般化することで,\ すべての自然数nについて成り立つことが示される. 漸化式を作成するため,\ 特に中央図と右図に着目してほしい. なお,\ 便宜上{平面を表す四角い枠を書いてその中で考える}とわかりやすい. 中央図では,\ 直線ℓ₁とℓ₂によって平面が4個の領域に分割されている. この状態から直線ℓ₃を引くと領域の個数はどうなるだろうか. {3本目の直線ℓ₃は,\ すでにある2本の直線ℓ₁,\ ℓ₂によって3個の線分に分割される.} そして,\ {線分1個につき,\ 領域が1個増える.} つまり,\ 3本目の直線を引くと領域は3個増えて7個になる. 結局,\ {n+1本目の直線を引くと,\ 領域がn+1個増える}というわけである. 最後は普通に漸化式を解くだけである.{a_{n+1}-a_n=f(n)は,\ 階差数列型漸化式}である. $n$個の円によって,\ 領域が$a_n$個に分割されているとする. { }$n+1$個目の円を書くと,\ $n$個の円によって$2n$個の円弧に分割される. { }これに応じて領域は$2n$個増えるから $a_{n+1}=a_n+2n}$   また $a₁=2$ { }$n=1とするとa₁=1²-1+2=2$となるから,\ $n=1$のときも成り立つ. 中央図では,\ 円C₁と円C₂によって平面が4個の領域に分割されている. この状態から円C₃を書くと領域の個数はどうなるだろうか. {3個目の円C₃は,\ すでにある2個の円C₁,\ C₂によって4個の円弧に分割される.} {1個の円とは2点で交わり,\ 交点1個につき円弧が1個できる.} 円が2個あると新たに4個の交点ができ,\ すなわち4個の円弧ができるのである. そして,\ {円弧1個につき,\ 領域が1個増える.} つまり,\ 3個目の円を書くと領域は4個増えて8個になる. 結局,\ {n+1個目の円を引くと,\ 領域が2n個増える}というわけである.
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