階比数列型の漸化式 an+1=f(n)an

$次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$ 階比数列型} 階差数列型 隣り合う項の差が${n}$の式である漸化式.  $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 階比数列型 }{隣り合う項の比}が${n}$の式である漸化式. 1}$になるまで繰り返し漸化式を適用していく. 同様に,\ a_{n-1}=(n-2)a_{n-2},a_{n-2}=(n-3)a_{n-3},が成立する. これらをa₁になるまで,\ つまりa₂=1 a₁を代入するところまで繰り返し適用していく. 最後,\ {階乗記号}を用いると積を簡潔に表すことができる.\ 0!=1なので注意. まず,\ 問題を見て階比数列型であることに気付けるかが問われる. 気付けたならば,\ a_{n+1}=f(n)a_nの形に変形して繰り返し適用していけばよい. a₁まで繰り返し適用すると,\ nと2がn-1個残る以外は約分によってすべて消える. 2がn個あると誤解しやすいが,\ 分母がn-1から1まであることに着目すると間違えない. 本問は別解も重要である.\ 問題で別解に誘導される場合も多い. {n+1の部分とnの部分をそれぞれ集める}という観点に立てば,\ 非常に自然な変形である. 集めることで置換できるようになり,\ 等比数列型に帰着する.
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