推測型の漸化式(数学的帰納法で証明する最終手段)

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次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$ $  a₁=7,a_{n+1}={4a_n-9}{a_n-2}[東京理科大]{推測型(数学的帰納法)$ 漸化式は,\ 正攻法がわからない場合でも,\ あきらめるのはまだ早い. 常に一般項を推測し,\ それを数学的帰納法で証明するという最終手段がある. 中には,\ この方法が正攻法の問題も存在する. 一般項の推測さえできれば,\ 数学的帰納法を用いた方法はある意味最強である. しかし,\ a₄くらいまでで規則性を見い出せなければ,\ この手法で求めることは困難である. 本問の漸化式は1次分数型なので,\ そのパターンとして解くことももちろんできる. ここでは,\ 1次分数型の解法を知らない場合を想定し,\ 数学的帰納法による方法を示した. a₄くらいまで求めると,\ 分母と分子がそれぞれ等差数列であることに気付く. 等差数列の一般項\ a_n=a+(n-1)d\ を用いると,\ 一般項の推測式を作成できる. あくまでも推測になので,\ 数学的帰納法を用いてすべての自然数で成立することを示す必要がある. 数学的帰納法は,\ 次の2段階を踏む証明方法である. }{n=1のときを示す.}\ 本問では,\ 代入するだけで済む. }{n=kのときを仮定し,\ n=k+1のときを示す.} 数学的帰納法による証明には代表的なものが何パターンかある. その中で,\ 漸化式の一般項を証明する場合に特有の事項がある. それは,\ {仮定した式だけでなく,\ 元の漸化式も利用する}ということである. 本問では,\ まず{元の漸化式を用いてから,\ 仮定した式を適用して変形}していく. つまり,\ n=kのときの元の漸化式a_{k+1}={4a_k-9}{a_k-2}に仮定したa_kを代入して変形する. a_{k+1}={12k+7}{4k+1}を示したいので,\ 元の漸化式においてn=kとすればよいことに注意してほしい. さて,\ 数学的帰納法には記述上重要なテクニックがある. {n=k+1のときを実際に証明する前に,\ 証明の最終結果を記述しておく(下線部). この部分は,\ 教科書や参考書には記述されていない本来不要な記述である. しかし,\ 以下の2点の理由により,\ 記述試験で記述することを推奨する. 1点は,\ {目指すべき最終目標が簡潔になり,\ 明確に意識できる}点である. 本問の場合であれば,\ {12k+7}{4k+1}\ を目指せばよいことがわかる. これを先に求めておかないと,\ n=k+1のときを示すために,\ 最後に次の変形する羽目になる. \ 「最初に右辺から左辺に変形」「最後に左辺から右辺に変形」のどちらが楽かということである. もう1点は,\ {証明が完了できなくても,\ 部分点をもらえる可能性が出てくる点}である. 最終目標が認識できていたことを採点官にアピールできるからである.
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