簡易分数型の漸化式 an+1=pan/(qan+r)

次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$ 簡易分数型} a_{n+1}={p}a_n}{q}a_n+r}$ [1.5zh] $この型は,\ 次に学習する1次分数型a_{n+1}={pa_n+q}{ra_n+s}$の$q=0$の場合に相当する. $よって,$\ 当サイトではこの型を簡易分数型と命名する. $1次分数型は難易度が高いが,$\ 簡易分数型は容易であり,\ 誘導なしで解くことを要求される. $最初に{a_n0\ を示す必要がある.\ {背理法を使うと簡潔に済む.$ $両辺の逆数をとった後で分解して置換すると,\ 特殊解型に帰着する.$ 特にr=p\ のとき,\ {等差数列型\ b_{n+1}=b_n+ qp}\ に帰着する. と仮定すると,\ a_{n+1}={2a_n}{3a_n+4}\ よりa_n=0である{よって,\ a_{n+1}=a_n=a_{n-1}==a₁=0\ となるが,\ これは\ a₁=2\ に矛盾する.}{ゆえに,\ すべての自然数nについて,\ a_n0\ である. 両辺の逆数をとると 背理法といっても難しく考える必要はない. 下線部のように,\ a_n=0を仮定するとa₁=2と矛盾することが簡潔に示されていれば十分である.
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