連立漸化式 an+1=pan+qbn、bn+1=ran+sbn

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次の漸化式で定義される数列a_n},\ b_n}の一般項を求めよ.$ a_{n+1}=4a_n+2b_n b_{n+1}=2a_n+4b_n a_{n+1}=2a_n+b_n b_{n+1}=4a_n-b_n {連立漸化式} 連立漸化式は,\ 対称型と一般型に大きく分類される. 対称型は容易だが,\ 一般型は2つある方法のいずれもが厄介である.2式の和と差で組み直すと, 等比数列型の2式に帰着する. ${(α,\ β)が2組求まり,\ 等比数列型の2式に帰着する.$ [別解}]} ${b_{n+1},\ b_n}$を消去すると, 隣接3項間型に帰着する. 2式の和をとる}と {2式の差をとる 対称型であるから,\ 2式の和と差で組み直す. a_n+b_n}は,\ 初項\ a₁+b₁=7,\ 公比6\ の等比数列. a_n-b_n}は,\ 初項\ a₁-b₁=3,\ 公比2\ の等比数列. {等比数列型の最終形をあらかじめ作成}しておき,\ それを満たすよう\ α,\ β\ を定める. 最終形を展開した形と\ a_{n+1}+α b_{n+1}\ に問題の漸化式を代入した結果を比較すればよい. (α,\ β)が2組求まるので,\ 対応する2組の等比数列型をそれぞれ解く. 通常,\ 問題でこの解法に誘導される. a_n-b_n}は,\ 初項\ a₁-b₁=-1,\ 公比-2\ の等比数列. a_n+14b_n}は,\ 初項\ a₁+14b₁=32,\ 公比3\ の等比数列. 最後は,\ まず-によってb_nを求める.\ a_nはにb_nを代入して求めるとよい. b_nを消去して,\ 隣接3項間型に帰着させる$] [ { }$これらをb_{n+1}=4a_n-b_n\ に代入して整理すると$ $a_{n+2}-a_{n+1}-6a_n=0}$   [隣接3項間型}] b_{n+1},\ b_nを消去するわけだが,\ 普通の連立方程式と同様にはいかない. 隣接3項間型は,\ まずa_{n+2}=x²,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式を解く. 特殊解α,\ βを用いると,\ 等比数列型\ 本問の場合,\ 特性方程式\ {x²-x-6=0}\ より,\ 特殊解\ {x=-2,\ 3}である. 2つの等比数列型を解いた後{a_{n+1}を消去}することでa_nが求められる. 最後は,\ b_n=a_{n+1}-2a_nを計算して,\ b_nを求めることになる. 底が等しい指数の和・差は,\ {次数が低いほうにそろえて計算する.} 次数が高いほうにそろえようとすると,\ 分数になって厄介だからである. この解法は,\ 必須である隣接3項間型の解法さえ習得できていれば実行できる. しかし,\ 本解の方法に比べるとやや遠回りである.
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