x³-5x²+3x+1=0$の解を$α,\ β,\ γ$とするとき,\ $α⁵+β⁵+γ⁵$の値を求めよ. 漸化式を利用する方程式の解の高次対称式の値$ 複素数と方程式(数II})において,\ 2次方程式の解の対称式α^n+β^nの値を求める方法を学習した. まずはその方法を軽く復習する. ax²+bx+c=0の2解をα,\ βとすると,\ 解と係数の関係より\ α+β=- ba,\ αβ= ca 後は,\ α²+β²=(α+β)²-2αβ,α³等として求められる. さらに,\ これらを組み合わせて余分なものを引くことにより,\ より高次の式の値も求められる. しかし,\ 次数が高くなっていくにつれ,\ この方法が厳しくなってくる. 2次方程式ならまだしも,\ 3次方程式となるとさらに大変である. そこで{最後の切り札となるのが,\ 漸化式を作成するという解法}である. αは方程式x³-5x²+3x+1=0の解であるから,\ 当然代入した式が成立する. この式の{両辺をα^n倍した式を作成する.}\ β,\ γについても同様の式を作成する. {3式を足し合わせた後S_n=α^n+β^n+γ^nとおくことで,\ S_nについての漸化式を作成できる.} S_{n+3},\ S_{n+2},\ S_{n+1},\ S_nの4項間漸化式なので,\ S₁,\ S₂,\ S₃さえ与えられれば,\ S_nが順次求まる. S₂やS₃を以下の公式を利用して求める方法はすでに学習済みである.
