楕円の準円(直交する2本の接線の交点の軌跡)

以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダーを動かしてみてください。自動再生もできます。

外部の点Pから楕円${x²}{16}+{y²}{9}=1$に引いた2本の接線が直交するとき,\ 点Pの軌跡 を求めよ.   点Pを$(p,\ q)$,\ 接線の傾きを$m$とする.   $p4}$のとき,\ 接線の方程式を$y=m(x-p)+q}$とおける.   $9x²+16y²=144に接線の方程式を代入して整理すると$   $    9x²+16{mx-(mp-q)²=144$   $よって (16m²+9)x²-32m(mp-q)x+16(mp-q)²-144=0}$   $y=m(x-p)+qが楕円と接する条件は$   $  判別式\ {D}{4={16m(mp-q)}²-(16m²+9){(16(mp-q)²-144}=0}$   $整理すると (p²-16)m²-2pqm+q²-9=0} $   $p4}\ のとき,\ の2実数解をm₁,\ m₂とする.$    $2本の接線が直交する条件は,\ 解と係数の関係}より m₁m₂={q²-9}{p²-16}=-1}$    $整理すると p²+q²=25}(p4) $    $このとき,\ は異なる2つの実数解m₁,\ m₂をもつ.$   $p=4}のとき,\ {P}(4,\ 3),\ (-4,\ 3)}であり,\ これらは上の点である.$ $ 求める軌跡は {原点中心,\ 半径5の円}$} 楕円の接線に関する問題は,\ 楕円の接線の公式を利用するのが普通である. しかし,\ 本問では{通る点と傾きを用いた直線と楕円が接すると考える.} すると,\ 最終的に直交条件\ {(2直線の傾きの積)=-1}\ が利用できる. 直線の式を設定するとき,\ {y=ax+bの形ではx軸に垂直な直線は表せない}ことに注意する. 図より,\ 接線が楕円の頂点(4,\ 0)を通るとき,\ その接線はx軸と直交する. よって,\ {2直線の交点のx座標p=4の場合は別個に考える.} 設定した直線が楕円と接する条件を立式する.\ 連立してD=0とし,\ 整理すればよい. 上の解答では途中計算を省略しているが,\ 実際にまで整理するのは相当の計算力が要求される. すべて展開してゴリ押しするのも可能だが,\ 次のように処理できるよう訓練しておくべきである. ポイントは,\ mx-(mp-q)のように{mp-qをまとめたまま計算する}ことである.  {D}{4}={16m(mp-q)}²-(16m²+9){(16(mp-q)²-144}=0  両辺を16で割ると {16m(mp-q)}²-(16m²+9){(16(mp-q)²-144}=0  よって 16m²(mp-q)²-(16m²+9)(mp-q)²+9(16m²+9)=0  ゆえに 16m²(mp-q)²}-16m²(mp-q)²}-9(mp-q)²+9(16m²+9)=0\ (うまく消える)  両辺を9で割ると (mp-q)²-(16m²+9)=0 mで整理すると (p²-16)m²-2pqm+q²-9=0  に16,\ 9という数字が出てきたのはたまたまではない. 一般に,\ 楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ と接する条件は\ (p²-a²)m²-2pqm+q²-b²=0\ となる. よって,\ この形にならなければどこかで計算ミスしたことになる. さて,\ p4であるから,\ はmの2次方程式である. 仮にを解いたとすると,\ その{解は点(p,\ q)から楕円に引いた2本の接線の傾き}を表す. このとき,\ 2本の接線の直交条件が{解と係数の関係}で表現できる.\ 2次方程式を解く必要はない. p²+q²=25\ (p4)を得るが,\ これを満たす全ての(p,\ q)が条件を満たす保障はない. 条件を満たす(p,\ q)とは,\ が{異なる2個の実数解をもつ}ような(p,\ q)である. つまり,\ {点(p,\ q)を通り楕円と接する直線が2本存在する}ことである. その条件は,\ の判別式をD’とすると,\ {D’0}である. m₁m₂={q²-9}{p²-16}=-1\ のとき\ q²-9=-(p²-16)\ であることを利用して確認する. {D’}{4}=p²q²-(p²-16)(q²-9)=p²q²+(p²-16)²0 {p,\ qの値によらずD’0}であるから,\ p²+q²=25\ (p4)上のすべての点が条件を満たす. p=4のときの交点は図より明らかに(4,\ 3),\ (-4,\ 3)である. この4点はでp4として除外されていた点である. よって,\ この4点を含めると,\ 結局{p²+q²=25上のすべての点が軌跡}となる. 一般に,\ {楕円{x²}{a²}+{y²}{b²}=1の直交する2本の接線の交点の軌跡は円x²+y²=a²+b²\ となる. 放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡は数II}で学習済みである. 例えば,\ y={1}{4p}x²の直交する2本の接線の交点の軌跡はy=-pとなる(下図). この軌跡は{放物線の準線}に他ならない.\ これに対応し,\ 円x²+y²=a²+b²を{楕円の準円という
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