楕円の接線の方程式、焦点距離、光線の反射

接線の方程式の導出は数Ⅲの微分法の知識を要するので、未学習ならば飛ばしてもかまいません。

楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ 上の点(x₀,\ y₀)における接線の方程式が\ {x₀x}{a²}+{y₀y}{b²}=1$  $であることを示せ.$ $楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1の2焦点を{F}(c,\ 0),\ {F}'(-c,\ 0)\ (\ とする.$  $楕円上の任意の点を{P}(p,\ q)とし,\ 線分{FP},\ {F}'{P}の長さをa,\ c,\ pのみで表せ.$ $の点{P}における楕円の接線と線分{FP,\ F}'{P}のなす角が等しいことを示せ.$ 両辺をxで微分}すると {2}{a²}x+{2}{b²}y{dy}{dx}=0$    $よって,\ y0\ のとき {dy}{dx}=-{b²}{a²} xy}$    $ゆえに,\ 接線の方程式は y-y₀=-{b²x₀}{a²y₀(x-x₀)$    $x₀}²}{a²}+y₀}²}{b²}=1}\ にも注意して整理すると {x₀x}{a²}+{y₀y}{b²}=1}$    $これは,\ (x₀,\ y₀)=(a,\ 0)における接線x=aも含む.$ $ x₀x}{a²}+{y₀y}{b²}=1}$} $[l} y=の形に変形せずとも,\ {陰関数の微分}の扱いでy’を求められる. y²は直接xで微分できないので,\ {dy²}{dx}={dy²}{dy}{dy}{dx}=2y{dy}{dx}\ とする. 後は(分母)0に注意して{dy}{dx}を求め,\ さらに接線の方程式を求める. y-y₀=-{b²x₀}{a²y₀}(x-x₀)\ の分母を払うと a²y₀y-a²{y₀}²=-b²x₀x+b²{x₀}² よって b²x₀x+a²y₀y=b²x₀²+a²y₀²   ここでx₀}²}{a²}+y₀}²}{b²}=1よりb²x₀²+a²y₀²=a²b² ゆえに b²x₀x+a²y₀y=a²b² より {x₀x}{a²}+{y₀y}{b²}=1 y₀=0,\ つまり頂点(a,\ 0)における接線x=aを含むことにも注意して最終的な答えとする. {楕円上の点と焦点との距離が簡潔な形で表せる}という{2次曲線特有の変形}が応用上重要である. (p,\ q)が楕円上にある条件\ {p²}{a²}+{q²}{b²}=1\ と焦点c²=a²-b²を利用して巧みに変形する. 「qを消去\ →\ pで整理\ →\ bを消去\ →\ 因数分解」という流れである. 一般に\ {(A)²}=A}\ であり,\ この絶対値をはずすには\ { cap-aの符号}を調べる必要がある. 楕円のx軸上の頂点が(a,\ 0)であるから,\ -a p a\ である. これを元に\ cap-a0\ がわかるから,\ {FP}= {cb{a}p-a}=-( cap-a)=a- cap\ とできる. 本解は自然だが,\ 推奨されるのは簡潔に済む別解である. {距離の2乗の差と楕円の定義を連立}し,\ さらに{距離の和と差を連立}する. {FP²-F}'{P}²={(FP+F}'{P)(FP-F}'{P})=2a({FP-F}'{P})=-4pc\ と考えるわけである. }]$  点Pにおける接線の方程式は ${p}{a²}x+{q}{b²}y=1}$    また,\ 焦点F,\ F$’$から接線に下ろした垂線の足をH,\ H$’$とする.  接線とx軸との交点を{Q},\ 線分{F}'{P}の延長線上の点を{R}とする.$ 楕円の接線は∠{FPR}を2等分する.$ 証明の方法は複数考えられるが,\ で求めた{FP,\ F}'{P}の長さを利用するのが普通である. その方法もさらに複数あるが,\ ここでは2通りの方法を示した.\ 別解がスマートであろう. 本解は接線に垂線を下ろしたときにできる{2つの直角三角形が相似である}ことを示す方法である. ここでは,\ {直角三角形において斜辺と他の1辺の比がそれぞれ等しい}ことにより相似を示す. 垂線の長さを{点と直線の距離の公式}を用いて求める. 点(x₁,\ y₁)と直線ax+by+c=0の距離dは d={ax₁+by₁+ca²+b² 1aをくくりだした後-X}=X}を利用すると{FP,\ F}'{P}の形が現れ,\ 比が等しいことが示される. 別解は∠{FPH=∠ RPH}を示す方法である. {外角の2等分線と辺の比の関係\ {FP:F}'{P}={FQ:F}'{Q\ を利用する. つまり,\ 接線が外角の2等分線であることと同値な\ {FP:F}'{P}={FQ:F}'{Q}\ を示したわけである. 本問から,\ {一方の焦点から発射した光は楕円面で反射してもう一方の焦点に入射する}ことがわかる.
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