双曲線の接線と漸近線に関する有名性質

双曲線\ {x²}{a²}-{y²}{b²}=1\ 上の点{P}における接線と漸近線の交点を{Q,\ R}$ $とする.\ また,\ 原点を{O}とする.$  $点{P}が線分{QR}の中点であることを示せ.$ [.75zh]  ${OQR}\ の面積が点{P}の位置によらず一定値をとることを示せ.$ [.75zh]  ${OQ OR}\ が点{P}の位置によらず一定値をとることを示せ.$  $点{P}の座標を(p,\ q)とすると,\ {p²}{a²}-{q²}{b²}=1}\ が成立する.$    $点{P}における接線の方程式は {p}{a²}x-{q}{b²}y=1} $    $と漸近線y= baxとの交点{Q}の座標は ({a²b}{bp-aq},{ab²}{bp-aq})}$    $と漸近線y=- baxとの交点{R}の座標は ({a²b}{bp+aq},-{ab²}{bp+aq})}$    $線分{QR}の中点は$ $より (a²b}{bp-aq}+{a²b}{bp+aq{2},ab²}{bp-aq}-{ab²}{bp+aq{2})=(p,\ q)}$} $ {点{P}は線分{QR}の中点である.}$} 特別な発想は必要ない.\ 点{P}を文字でおいた後,\ 条件を数式にして淡々と計算するだけである. 曲線上の点を文字でおいたとき,\ {点が曲線上にある条件}が盲点になりやすいので注意する(). 双曲線\ {x²}{a²}-{y²}{b²}=1\ 上の点(x₀,\ y₀)における接線の方程式は {x₀x}{a²}-{y₀y}{b²}=1 y= baxをに代入すると {p}{a²}x-{q}{ab}y=1   分母を払うと bpx-aqx=a²b よって x={a²b}{bp-aq}    また y= bax={ab²}{bp-aq}   ({R}の座標も同様) 以下,\ より\ {b²p²-a²q²=a²b²}\ が成立することに注意する. {a²b}{bp-aq}+{a²b}{bp+aq}=a²b{(bp+aq)+(bp-aq)}{(bp-aq)(bp+aq)}=a²b{2bp}{b²p²-a²q²}=a²b{2bp}{a²b²}=2p }]$  ${OQR}=12{a²b}{bp-aq}(-{ab²}{bp+aq})-{ab²}{bp-aq}{a²b}{bp+aq}$    $OQR=12{-2a³b³}{b²p²-a²q²=12{-2a³b³}{a²b²=122ab=ab}$ $ OQR}の面積は一定値abをとる.}$}  ${OQ OR}={({a²b}{bp-aq})²+({ab²}{bp-aq})²}{({a²b}{bp+aq})²+(-{ab²}{bp+aq})²$    $OQ OR=a⁴b²+a²b⁴}{(bp-aq)²a⁴b²+a²b⁴}{(bp+aq)²=(a⁴b²+a²b⁴)²}{(b²p²-a²q²)²$    $OQ OR={a⁴b²+a²b⁴}{b²p²-a²q²}={a²b²(a²+b²)}{a²b²}=a²+b²}$ $ OQ OR}は一定値\ a²+b²\ をとる.}$} $[l} {点{P}の座標(p,\ q)を含まない式で表される}ことを示せば,\ 点{P}の位置によらないといえる. ,\ ともに単純に計算していけば自然にp,\ qが消えてa,\ bのみで表される. 原点{O}と他の2点(x₁,\ y₁),\ (x₂,\ y₂)が作る三角形の面積は {12x₁y₂-y₁x₂ (暗記必須) の\ b²p²-a²q²=a²b²\ も利用してp,\ qを消去する. 分母は次のように考えるとを利用してp,\ qが消去できる.
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