楕円と直線の距離

楕円${x²}{12}+{y²}{4}=1$上の点Pと他の2点A(6,\ 0),\ B(0,\ 6)が作る三角形の面積の最大 値・最小値とそのときの点Pの座標を求めよ.   楕円上の点Pの座標を$(a,\ b)$とすると,\ ${a²}{12}+{b²}{4}=1}\ $が成立する.   点Pにおける接線の方程式は $ {a}{12}x+ b4y=1} $   点Pと直線ABの距離が最大・最小になるのは,\ が直線ABと平行になるとき}である.   これは$x軸$と垂直な直線ではないから,\ $b0$である.   の傾き\ $-{a}{3b}=-1}\ のとき a=3b$   $,\ を連立すると,\ 点{P}の座標は (a,\ b)=(3,\ 1)}$   \ $(a,\ b)=(3,\ 1)}と直線x+y-6=0の距離は {3+1-61²+1²=2}$     よって,\ $$PABの面積は $62212=6$   \ $(a,\ b)=(-3,\ -1)}と直線x+y-6=0の距離は {-3-1-61²+1²=52}$     よって,\ $$PABの面積は $625212=30$ $ P(3,\ 1)のとき最小値\ 6,P(-3,\ -1)のとき最大値30$} 底辺を{AB}と考えると,\ {PAB}が最大・最小となるのは高さが最大・最小になるときである. つまり,\ 楕円上の点{P}と直線{AB}の距離が最大・最小になるときを考える. これは,\ {楕円の接線の傾きが直線{AB}の傾きと平行になるとき}と考えてよい. 楕円の接線は公式である. 楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ 上の点(x₀,\ y₀)における接線は {x₀x}{a²}+{y₀y}{b²}=1 公式から導かれた楕円の接線の式から傾きを求めるとき,\ bで割る必要がある. b=0のとき平行にはなりえないことを確認したうえで傾きの条件を求める. 後は点(a,\ b)が楕円上にある条件と連立して点{P}の座標が求まる. さらに,\ 点(x₁,\ y₁)と直線ax+by+c=0の距離の公式\ {ax₁+by₁+ca²+b²\ を適用すればよい.  [楕円の媒介変数表示を利用]   $楕円上の点{P}は\ (23cosθ,\ 2sinθ)(0θ2π)}とおける.$   $点{P}と直線x+y-6=0の距離は$ $(以下同様)$} $[l} 楕円上の点に着目して議論する場合,\ 楕円の媒介変数表示も有効である. 楕円の式\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ と三角関数の相互関係\ cos²θ+sin²θ=1\ を見比べる. xa=cosθ,\ yb=sinθ\ より,\ {楕円の媒介変数表示\ (x,\ y)=(acosθ,\ bsinθ)}\ が導かれる. 媒介変数表示により,\ 距離が{θの1変数関数に帰着}する.\ 後は三角関数の最大・最小問題である. sinθとcosθの1次の和になるから,\ {三角関数の合成}を行う. 0θ2π\ のとき\ {π}{3}θ+{π}{3}2π+{π}{3}\ より,\ sin(θ+{π}{3})\ は最大値1,\ 最小値-1をとる. sin(θ+{π}{3})が最大(最小)になるとき,\ 距離は最小(最大)になることに注意.
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