楕円の定義・標準形・焦点・長軸・短軸、楕円の方程式の決定

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2定点{F}(c,\ 0),\ {F}'(-c,\ 0)からの距離の和が2aになる点の軌跡を求めよ.$ $ただし,\ a,\ cを満たす定数である.$  $軌跡上の動点を{P}(x,\ y)}とする.$   $よって        \ {(x-c)²+y²}=2a-{(x+c)²+y²}$  $両辺を2乗すると   (x-c)²+y²=4a²-4a{(x+c)²+y²}+(x+c)²+y²$  $整理すると      \ cx+a²=a{(x+c)²+y²}$  $両辺を2乗すると   c²x²+2a²cx+a⁴=a²{(x+c)²+y²}$  $整理すると      \ (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)$  $両辺をa²(a²-c²)\ で割ると x²}{a²}+{y²}{a²-c²}=1$  $この曲線上のすべての点は\ {PF}+{PF}’=2a\ を満たす.$ $[l} 軌跡上の動点を文字でおき,\ その点が満たすべき条件を立式した後整理する. 本問の根号をはずすには,\ 一方を移項して両辺を2乗し,\ それを整理した後再び両辺を2乗する. x²とy²の項をそれぞれまとめ,\ =1の形にすると簡潔になる.\ 除外点が存在しないことも確認する. }]$  ${2定点からの距離の和が一定(2a)となる点の軌跡が{楕円の定義である.$  $このとき,\ 2定点{F,\ F}’を{焦点という.$  $また,\ a²-c²=b²}\ とおくと{楕円の標準形\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ が得られる.$  $このとき,\ 焦点は\ {(c={a²-b²},\ 0)\ と表される.$  $楕円には,\ 焦点がx軸上の横長楕円}と焦点がy軸上の縦長楕円}がある.\ 以下にまとめる.$ ll} $標準形x²}{a²}+{y²}{b²}=1}$標準形x²}{a²}+{y²}{b²}=1} $長軸の長さ:{2a  短軸の長さ:{2b$ $長軸の長さ:{2b  短軸の長さ:{2a$ $焦点 {({a²-b²},\ 0)$ $焦点 {(0,\ {a²-b²})$ $焦点からの距離の和:{2a$ $焦点からの距離の和:{2b$ a²-c²=b²とおくのは,\ 単に式が対称になるからというだけではない. 円x²+y²=a²,\ 変形すると\ {x²}{a²}+{y²}{a²}=1\ との関連が今後重要になる. 楕円が横長か縦長かは,\ 楕円の式のa²とb²の大小関係を見るとすぐにわかる. 横長か縦長かで各図形量が変わるので,\ 図とも絡めてしっかり確認しておきたい. なお,\ 横長・縦長は正式用語ではないので他では使わないように. 横長楕円の焦点({a²-b²},\ 0)は,\ 双曲線の焦点({a²+b²},\ 0)と式の上では混同しやすい. そこで,\ 楕円上を動く動点が(0,\ b)にあるときにできる図の色塗りの{直角三角形に着目}しよう. 焦点からの距離の和は2aであるから,\ 対称性も考慮すると直角三角形の斜辺の長さはaである. すると三平方の定理より,\ 明らかにc={a²-b²}\ である.\ これで双曲線の焦点と迷うことはない. 次の楕円の焦点と長軸・短軸の長さを求めよ.\ また,\ その概形を図示せよ.$ 両辺を3で割る}  ${(x-1)²}{5²}+{(y-2)²}{4²}=1} より {長軸}\ 25}={10}, {短軸}\ 24}={8}$    ${25-16}=3 より 楕円\ {x²}{5²}+{y²}{4²}=1}\ の焦点は (-3,\ 0),\ (3,\ 0)}$    $求める楕円の{焦点}はx軸方向に1,\ y軸方向に2平行移動}して {(-2,\ 2),\ (4,\ 2)}$ 楕円を特徴付けるのはaとbの値である.a²=8,\ b²=3より,\ a=22,\ b=3\ が求まる.   {a²b²}より,\ 横長の楕円で,\ aの2倍が長軸の長さ,\ bの2倍が短軸の長さとなる.   焦点はx軸上にあり,\ x座標は\ {a²-b²}\ である.\ 必ず座標\ ({a²-b²},\ 0)\ で答えること.   楕円を図示するときは4頂点(a,\ 0),\ (0,\ b)をとる.\ 焦点が問われた場合はこれも図示する. {右辺が1の標準形に変形}することで初めてa,\ bがわかる.   さらに,\ 左辺を\ {x²}{a²}+{y²}{b²}\ の形に変形しなければならない.   つまり,\ {左辺の分子のx²とy²の係数を無理矢理にでも1にする}必要がある.   すぐに変形できない人は,\ 4x²と{1}{a²}x²を比較して4={1}{a²}\ より\ a²=14\ と考えればよい.   b²についても同様である.\ 後は\ 12{1}{2}\ に注意して求める.\ 結局,\ 縦長の楕円である. 一般に,\ x→x-α,\ y→y-β\ とするとx軸方向にα,\ y軸方向にβ平行移動したグラフになる.   よって,\ (x-α)}{a²}+{(y-β)²}{b²}=1}\ は,\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1を(α,\ β)平行移動した楕円である.   式中にx,\ yの項を含む場合,\ xとyについてそれぞれ{平方完成}すると標準形に変形できる.   16(x-1)²-161²+25(y-2)²-252²-284=0   16(x-1)²+25(y-2)²=400   両辺を400で割ると {(x-1)²}{25}+{(y-2)²}{16}=1   これは,\ 楕円\ {x²}{25}+{y²}{16}=1\ をx軸方向に1,\ y軸方向に2平行移動したものである.   平行移動前の楕円の焦点を求めた後平行移動すればよい.\ 当然,\ 長軸・短軸は変化しない.   図示では,\ 平行移動前の楕円の4頂点(5,\ 0),\ (0,\ 4)を(1,\ 2)平行移動した点をとる. $次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ.$  $焦点が(0,\ 2)で,\ 点(3,\ 2)を通る楕円.$  $焦点が(-1,\ 2),\ (3,\ 2)で,\ 長軸の長さが6の楕円.$  $焦点がy軸上}にあるから,\ 求める楕円は\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ 0)}\ とおける.$    $焦点について\ {b²-a²}=2\ より b²=a²+4}$    ${x²}{a²}+{y²}{a²+4}=1\ が点(3,\ 2)を通るから {9}{a²}+{4}{a²+4}=1}$    $よって 9(a²+4)+4a²=a²(a²+4) より a⁴-9a²-36=0$    $ゆえに (a²-12)(a²+3)=0$    $a²0よりa²=12}   このとき b²=16}$ $ x²}{12}+{y²}{16}=1}$}  $楕円をx軸方向に-1,\ y軸方向に-2平行移動}すると,\ 焦点の座標は (2,\ 0)}$    $焦点がx軸上にあるから,\ 平行移動した楕円は\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ (ab0)}\ とおける.$    $長軸の長さ\ 2a=6 より a=3}$    $焦点について\ {a²-b²}={9-b²}=2\ より b²=5}$    $よって,\ 平行移動した楕円の方程式は {x²}{9}+{y²}{5}=1}$ $ 求める楕円の方程式は (x-1)²}{9}+{(y-2)²}{5}=1}$} $[l} 与えられた条件からa²,\ b²を求めることが目標である.  {焦点がx軸上にあるかy軸上にあるかで条件式が変わる}ことに注意する.   baであることに注意して焦点の条件と通る点の条件を立式して連立する.   a²,\ b²さえ求まればよく,\ a,\ bを求める必要はない. {焦点がx軸と平行な直線上}にあるから,\ 横長の楕円である.  {焦点の中点(1,\ 2)が楕円の中心}である.\ 一旦これが原点になるように平行移動して考える.   長軸と焦点の条件からa²,\ b²を求めた後,\ 再び平行移動して元に戻す.   {x軸方向に1,\ y軸方向に2平行移動}することになるから,\ x→x-1,\ y→y-2\ とする.
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