双曲線の接線の方程式、焦点距離、光線の反射

接線の方程式の導出は数Ⅲの微分法の知識を要するので、未学習ならば飛ばしてもかまいません。

双曲線\ {x²}{a²}-{y²}{b²}=1\ 上の点(x₀,\ y₀)における接線の方程式が\ {x₀x}{a²}-{y₀y}{b²}=1$  $であることを示せ.$ $双曲線\ {x²}{a²}-{y²}{b²}=1の2焦点を{F}(c,\ 0),\ {F}'(-c,\ 0)\ (c0)\ と$  $する.\ 双曲線上の点{P}(p,\ q)\ (p0)があるとき,\ 線分{FP},\ {F}'{P}の長さをa,\ c,\ p$  $で表せ.$ $の点{P}における双曲線の接線と線分{FP,\ F}'{P}のなす角が等しいことを示せ.$ {両辺をxで微分}すると {2}{a²}x-{2}{b²}y{dy}{dx}=0$    $よって,\ y0\ のとき {dy}{dx}={b²}{a²} xy}$    $ゆえに,\ 接線の方程式は y-y₀={b²x₀}{a²y₀(x-x₀)$    $x₀}²}{a²}-y₀}²}{b²}=1}\ にも注意して整理すると {x₀x}{a²}-{y₀y}{b²}=1}$    $これは,\ (x₀,\ y₀)=(a,\ 0)における接線x=aも含む.$ $ x₀x}{a²}-{y₀y}{b²}=1}$} $[l} y=の形に変形せずとも,\ {陰関数の微分}の扱いでy’を求められる. y²は直接xで微分できないので,\ {dy²}{dx}={dy²}{dy}{dy}{dx}=2y{dy}{dx}\ とする. 後は(分母)0に注意して{dy}{dx}を求め,\ さらに接線の方程式を求める. y-y₀={b²x₀}{a²y₀}(x-x₀)\ の分母を払うと a²y₀y-a²{y₀}²=b²x₀x-b²{x₀}² よって b²x₀x-a²y₀y=b²x₀²-a²y₀²   ここでx₀}²}{a²}-y₀}²}{b²}=1よりb²x₀²-a²y₀²=a²b² ゆえに b²x₀x-a²y₀y=a²b² より {x₀x}{a²}-{y₀y}{b²}=1 y₀=0,\ つまり頂点(a,\ 0)における接線x=aを含むことにも注意して最終的な答えとする. 双曲線の接線の公式はよく利用するので暗記必須である. 双曲線の方程式において\ {x²\ →\ x₀x,y²\ →\ y₀y}\ とするだけである. }]$ ${双曲線\ {x²}{a²}-{y²}{b²}=1\ 上の点(x₀,\ y₀)における接線の方程式$} dy} $x₀x}{a²}-{y₀y}{b²}=1$}  $以下,\ {p²}{a²}-{q²}{b²}=1,c²=a²+b²}を利用する.$    ${FP}²}=(p-c)²+q²=(p-c)²+b²({p²}{a²}-1)}=(1+{b²}{a²})p²-2pc+c²-b²}$    $FP}²}={c²}{a²}p²-2pc+a²=( cap-a)²}$    $ここで,\ p aより  cap-a} ca a-a=c-a\ 0}$    ${F}'{P}²}=(p+c)²+q²=(p+c)²+b²({p²}{a²}-1)}=(1+{b²}{a²})p²+2pc+c²-b²}$    $F}'{P}²}={c²}{a²}p²+2pc+a²=( cap+a)²}$    $明らかに\ cap+a0\ なので F}'{P}= cap+あ}$  ${FP}²-{F}'{P}²}=(p-c)²+q²-(p+c)²-q²=-4pc} $    $双曲線の定義より {FP}-{F}'{P}=-2a}  \ $    $,\ より    {FP}+{F}'{P}={2pc}{a  $ $ ,\ より FP= cap-a},{F}'{P}= cap+a}$} {双曲線上の点と焦点との距離が簡潔な形で表せる}という{2次曲線特有の変形}が応用上重要である. (p,\ q)が双曲線上にある条件\ {p²}{a²}-{q²}{b²}=1\ と焦点c²=a²+b²を利用して巧みに変形する. 「qを消去\ →\ pで整理\ →\ bを消去\ →\ 因数分解」という流れである. 一般に\ {(A)²}=A}\ であり,\ この絶対値をはずすには\ { cap-aの符号}を調べる必要がある. p0より,\ 点{P}は双曲線の右側の部分の上にある. よって,\ 頂点(a,\ 0)と焦点(c,\ 0)の位置関係も考慮すると,\ a p\ と\ ac\ が成立する. これを元に\ cap-a0\ がわかるから,\ {FP}= {cb{a}p-a}= cap-a\ とできる. 本解は自然だが,\ 推奨されるのは簡潔に済む別解である. {距離の2乗の差と双曲線の定義を連立}し,\ さらに{距離の和と差を連立}する. 双曲線の定義は\ {FP}-{F}'{P=2a\ だが,\ 絶対値をはずすと\ {FP}-{F}'{P}=2a\ となる. さらに,\ 双曲線の右側の部分では\ {FP}{F}'{P}\ であることに注意すると\ {FP}-{F}'{P}=-2a\ となる. {FP²-F}'{P}²={(FP+F}'{P)(FP-F}'{P})=({FP}+{F}'{P})(-2a)=-4pc\ として\ {FP}+{F}'{P}\ が導かれる.  $接線とx軸との交点を{Q}とする.$    $点{P}(p,\ q)における接線\ {p}{a²}x-{q}{b²}y=1}\ より,\ {Q}のx座標は\ x={a²}{p}\ である.$    $よって {FQ}=c-{a²}{p},{F}'{Q}=c+{a²}{p$    $ここで {FP:F}'{P={cp-a²}{a}:{cp+a²}{a}=(cp-a²):(cp+a²)}$    $また  {FQ:F}'{Q=c-{a²}{p}:c+{a²}{p}={cp-a²}{p}:{cp+a²}{p}=(cp-a²):(cp+a²)}$    ${FP:F}'{P=FQ:F}'{Qより,\ 双曲線の接線は∠{FPF}’を2等分する.$ を利用するため,\ {FPF}’に着目する. もし∠{FPQ}=∠{F}'{PQ}\ ならば,\ {内角の2等分線と辺の比の関係\ {FP:F}'{P}={FQ:F}'{Q\ が成り立つ. つまり,\ 接線が∠{FPF}’の2等分線であることと\ {FP:F}'{P}={FQ:F}'{Q}\ が成り立つことは同値である. 接線の方程式を用いて点{Q}のx座標を求め,\ 長さの比を計算すればよい. {一方の焦点から発射した光は,\ 他方の焦点から発射された方向に双曲線面で反射する.} 逆に,\ {他方の焦点に向かって入射してきた光は,\ 一方の焦点の方向に双曲線面で反射する.}
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