楕円の接線と座標軸が作る三角形の面積の最小

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楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ (a0,\ b0)の第1象限の点{P}における接線がx軸,\ y軸と交$ $わる点を{A,\ B}とするとき,\ x軸,\ y軸,\ 線分{AB}が作る三角形の面積の最小値とその$ $ときの点{P}の座標を求めよ.$ 楕円の接線と座標軸が作る三角形の面積の最小   $点{P}の座標を(p,\ q)\ (p0,\ q0)}とすると,\ {p²}{a²}+{q²}{b²}=1}が成立する.$   $点{P}における接線の方程式は {p}{a²}x+{q}{b²}y=1}$   $よって {A}({a²}{p},\ 0),{B}(0,\ {b²}{q})}$   ${OAB}=12{a²}{p}{b²}{q}={a²b²}{2}{1}{pq}$   ${p²}{a²}0,\ {q²}{b²}0\ より,\ に\ (相加平均)(相乗平均)}\ を適用すると$     ${p²}{a²}+{q²}{b²}2p²}{a²}{q²}{b²} より 1}{2pq}{ab}    よって {1}{pq}{2}{ab$   $ゆえに {OAB}={a²b²}{2}{1}{pq\ {a²b²}{2}{2}{ab=ab$   $等号は\ {p²}{a²}={q²}{b²}\ かつのとき,\ つまり\ p={a}{2},q={b}{2\ のとき成立する.$ $ P}({a}{2},\ {b}{2})\ のとき 最小値\ ab}$} 単純に接点を文字でおいて接線の式を作成後交点と面積を求める. このとき,\ 点(p,\ q)が楕円上にある条件が成立することを忘れない. 楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ 上の点(x₀,\ y₀)における接線の方程式は\ {x₀x}{a²}+{y₀y}{b²}=1\ である. すると,\ {条件のもとでpqの最大値を求める}ことに帰着する({面積最小=分母のpq最大}). つまり,\ 条件つき2変数関数の最大問題である. 一般に,\ 次の状況で{相加平均と相乗平均の関係A+B2{AB}\ (A0,\ B0)が有効}である. {「和が一定のもとで積の最大を求める(本問)」「積が一定のもとで和の最小を求める」} 本問では,\ A={p²}{a²},\ B={q²}{b²}\ として適用すると,\ pqの最大(={1}{pq}の最小)が求まる. 同時に面積の最小も求まるが,\ これで安心してはいけない.\ {等号成立条件を確認}する必要がある. ab\ はab以上を意味するだけで,\ 最小値がabまでは意味しないからである. 等号が成立するようなp,\ q\ (p0,\ q0)\ が存在して初めて最小値がabと断定できる. 相加平均と相乗平均の関係の等号成立条件は\ {A=B}\ である. と連立してp,\ qを求める.a,\ b,\ p,\ qはすべて正なので,\ {p²}{a²}={q²}{b²} pa= qb\ である. q= bap\ としてに代入すると {2p²}{a²}=1   よってp²={a²}{2}よりp={a}{楕円の媒介変数表示を利用]   $点{P}の座標は(acosθ,\ bsinθ)\ (0θ{π}{2})}とおける.$   $点{P}における接線の方程式は {cosθ}{a}x+{sinθ}{b}y=1}$   $よって {A}({a}{cosθ},\ 0), {B}(0,\ {b}{sinθ})}$   ${OAB}=12{a}{cosθ}{b}{sinθ}={ab}{sin2θ$   $02θπ\ より,\ sin2θ\ は\ 2θ={π}{2}\ のとき,\ つまりθ={π}{4}\ のとき最大値1}をとる.$ $ P(acos{π}{4},\ bsin{π}{4})}={({a}{2},\ {b}{2})}\ のとき {最小値\ ab}$} $[l} 楕円上の点に着目して議論する場合,\ 楕円の媒介変数表示も有効である. 楕円の式\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ と三角関数の相互関係\ cos²θ+sin²θ=1\ を見比べる. xa=cosθ,\ yb=sinθ\ より,\ {楕円の媒介変数表示\ (x,\ y)=(acosθ,\ bsinθ)}\ が導かれる. 媒介変数表示により,\ 面積が{θの1変数関数に帰着}する. 2倍角の公式\ sin2θ=2sinθcosθ\ を逆に用いることで変数θを1箇所に集められる. 後は分母sin2θの最大を考えればよい. 無理矢理1文字消去($pqを求める部分のみ,\ 他は本解と同様$)]   ${p²}{a²}+{q²}{b²}=1 より q²=b²(1-{p²}{a²})={b²}{a²}(a²-p²)$   $pq= ba p{a²-p²= ba{-p⁴+a²p²= ba{-(p²-{a²}{2})²+{a⁴}{4}$   $0 p² a²}\ より,\ pqは\ p²={a²}{2\ のとき最大値\ baa⁴}{4={ab}{2\ をとる.$ $[l} 条件つき多変数関数の最大・最小問題では,\ 1文字消去も重要である. 多少ゴリ押しになるとしても,\ 1変数関数に帰着させてしまえば理系なら数III}の微分も利用できる. 後の計算も考慮して\ {1}{a²}もくくり出しておくと,\ {p{a²-p²}\ の最大を求める}ことに帰着する. 微分するまでもなく,\ {pを根号の中に入れるとp²の2次関数になるから平方完成すれば済む.} 0 p aであることにも注意して,\ pqの最大値が求まる.
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