不定方程式の最重要発想②:両辺を積の形に変形する (x²-y²=k型など)

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整数の特徴 素因数分解  積の形にして,\ 素因数分解に結びつける.\ 約数・倍数の関係も利用する.  実際には,\ 両辺が積の形になるよう変形し,\ 因数の組合せを考える.  例えば,\ $「xy=3を満たす自然数x」なら,\ (x,\ y)=(1,\ 3),\ (3,\ 1)となる.$  積の形への変形は,\ 多少の工夫を要する場合があるので,\ 経験しておこう.  通常の方程式における因数分解とは異なり,\ 必ず$=0$にする必要はない.  また,\ 因数の組合せを考える前に,\ 可能性を絞り込こんでおくと楽になる.  これらの問題で,\絞りこみの基本的な発想を学んで欲しい.とにかく両辺を積の形に}]$} x=(奇数)}で 共通因数を持つものをまとめる}ことで,\ 両辺を積の形にできる. 自然数条件と約数・倍数の関係を利用して絞り込んでいく. 約数・倍数の関係に気付かなくても,\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4をしらみつぶしできる. なお,\ ax+by=c型の不定方程式の一般的解法は,\ 別の項で取り上げる. 今回は,\ たまたま共通因数を持っていたのでこのような解法をとった. とにかく両辺を積の形に}]$} 2y=(偶数)x+yとx-yの偶奇は一致する}.$ \ 変形後,\ x,\ yが自然数であることを利用して,\ まず各因数の範囲を絞る}. また,\ 2つの因数の和や差を求める}ことでさらに絞り込めることが多い. 積が24になる組は,\ (24,\ 1),\ (8,\ 3)や(1,\ 24)や(-1,\ -24)等,\ 16通りもある. しかし,\ 0と偶奇の一致を考慮すると,\ たった2通りになる. あらかじめ絞り込んでおくことの重要さがわかるだろう. もちろん,\ 絞り込めなくても,\ 16通りをしらみつぶしすると解が求まる. そのとき,\ 1つずつ計算するのは大変なので,\ まず一般化した式を作るとよい. 両辺が積の形になった}]$} { $[l} 平方完成して定数を右辺に移項すると,\ X²-Y²=kの形になる. 変形がやや技巧的なので経験が必要だが,\ 結局はと同じ型になる. もちろん,\ 因数の組合せを考える前に,\ できる限り可能性を絞り込んでおく. (1,\ 5),\ (-5,\ -1),\ (-1,\ -5)はどれも条件を満たさず,\ 結局(5,\ 1)しかない. 仮に絞り込めなくても,\ 4通りをしらみつぶしすると解が求まる.
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