√f(x)が整数となる条件、f(x)が平方数となる条件

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この種の問題は,\ 整数を文字でおいて不定方程式に帰着させるとよい.  \ ${x²-12}=m\ (m0)}\ とおく. {f(x)}0であるから,\ 整数m0とおける.\ 0は,\ 絞り込みで役に立つ. 結局,\ x²-y²=k型の不定方程式に帰着する. 差をとることでわかると偶奇の一致を考慮して絞り込む. 両辺を2乗すると 偶数)m+xとm-xの偶奇は一致する. と同様にすると,\ x²-y²=k型の不定方程式になる. のように,\は言えないことに注意. 両辺を2乗すると平方完成すると  両辺を4倍すると  因数分解して 平方完成して定数を右辺に移項すると,\ x²-y²=k型に帰着する. この変形は少し慣れが必要かもしれない. 本問は,\ 4m=(偶数)であることでは絞り込めない.
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